信号与系统/信号的特性

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• Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 当前语言下显示→模拟广播
• Analog Television：大陆：模拟电视；臺灣：類比電視；香港：模擬電視； 当前语言下显示→模拟电视
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• Digital Broadcasting：大陆：数字广播；香港：數碼廣播；臺灣：數位廣播;zh-mo:數字廣播； 当前语言下显示→数字广播
• Digital Television：大陆：数字电视；臺灣：數位電視；香港：數碼電視;zh-mo:數字電視； 当前语言下显示→数字电视
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• USB TV Tuner：大陆：USB电视棒；香港：USB電視手指；臺灣：USB電視棒； 当前语言下显示→USB电视棒
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信号的特性

$\bullet$ 连续时间(continuous-time)信号 V.S 离散时间(discrete-time)信号

$\bullet$ 类比(analog)信号 V.S 数字(digital)信号

$\bullet$ 周期(periodic)信号 V.S 非周期(aperiodic)信号

$\bullet$ 因果(causal)信号 V.S 非因果(non causal)信号

$\bullet$ 能量(energy)信号 V.S 功率(power)信号

$\bullet$ 定型(deterministic)信号 V.S 随机(random)信号

$\bullet$ 奇(odd)信号 V.S 偶(even)信号

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连续时间(continuous-time)信号 V.S 离散时间(discrete-time)信号

$\bullet$ 连续时间信号 ：所有时间均有指定信号的大小 。

                   (a) 0.05秒的聲音信號             

$\bullet$ 离散时间信号 ：只在特定的离散时间点有定义信号的大小 。

                   (b) 2002年台年的每月平均溫度

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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类比(analog)信号 V.S 数字(digital)信号

$\bullet$ 类比信号 ：信号的大小落在一个或几个连续的范围内 。

$\bullet$ 数字信号 ：信号的大小只有特定的 ${\boldsymbol {m}}$ 个可能值 。

       $\Rightarrow$ ${\boldsymbol {m}}$ 元( m-ary )訊號
             
          (右圖為三元 binary 訊號)

                              圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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范例1.3

$\bullet$ 连续时间(continuous-time)信号 vs 离散时间(discrete-time)信号是依据信号的时间轴特性来作分类 ；

   類比(analog)訊號 vs 數位(digital)訊號則由訊號大小的可能值作區別 。

                                (a) 連續時間類比訊號      (b) 連續時間數位訊號
                                (c) 離散時間類比訊號      (d) 離散時間數位訊號

                                   圖出處 © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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周期(periodic)信号 V.S 非周期(aperiodic)信号

$\bullet$ 周期信号 : 存在常数 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ ，使得所有时间 ${\boldsymbol {t}}$ 均满足 :

            ${\boldsymbol {x(t+T_{0})=x(t)}}$

$\bullet$ 所有可能的 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 值中最小且大于零者，称为 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的基本周期(period) 。

$\bullet$ 周期信号由 ${\boldsymbol {t}}$ = ${-\infty }$ 开始并持续至永久( ${\boldsymbol {t}}$ = ${+\infty }$ ) 。

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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范例1.4

说明信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${e^{j2\pi f_{0}t}}$ 为周期信号，并求其周期 。

【解】 若 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 是周期信号，${\boldsymbol {x(t)}}$ 须满足

         ${\boldsymbol {x(t+T_{0})}}$ = $e^{j2\pi f_{0}(t+T_{0})}$ = $e^{j2\pi f_{0}t}$$e^{j2\pi f_{0}T_{0}}$ = $e^{j2\pi f_{0}t}$ = ${\boldsymbol {x(t)}}$    
   
    
    上式要成立，必須 ${e^{j2\pi f_{0}T_{0}}}$ = ${\boldsymbol {1}}$ 。

特例 :

    (i)  ${\boldsymbol {f_{0}=0}}$ 時，任意 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 值皆符合，但此情況無法定義最小正 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 值，即無法找到週期或週期為 ${\infty }\Rightarrow$ 直流訊號 。
     
    (ii) 若 ${\boldsymbol {f_{0}\neq 0}}$ ，當 ${\boldsymbol {2\pi f_{0}T_{0}=2m\pi }}$ 時( ${\boldsymbol {m}}$ 為任意整數) $e^{j2\pi f_{0}T_{0}}$ = ${\boldsymbol {1}}$ ，故 $T_{0}={\frac {m}{f_{0}}}$ 。
          當${\boldsymbol {m=1}}$ 時，有最小正 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 值，故週期為 ${\boldsymbol {\frac {1}{f_{0}}}}$ 。  
          ${\boldsymbol {T_{0}={\frac {1}{f_{0}}}}}$ ，滿足週期訊號的條件，週期為 ${\boldsymbol {e^{j2m\pi }}}$ = ${\boldsymbol {1}}$  。　
                       

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因果(causal)信号 V.S 非因果(non causal)信号

$\bullet$ 因果信号 :

             ${\boldsymbol {x(t)=0}}$                 ,     ${\boldsymbol {t<0}}$

$\bullet$ 非因果信号 :

             ${\boldsymbol {x(t)\neq 0}}$                ,      ${\boldsymbol {t<0}}$

$\bullet$ 反因果(anticausal)信号 :

             ${\boldsymbol {x(t)=0}}$                 ,     ${\boldsymbol {t\geq 0}}$

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能量(energy)信号 V.S 功率(power)信号

$\bullet$ 信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的总能量 ${\boldsymbol {E_{x}}}$ 有定义而且为有限值，亦即 ${\boldsymbol {0<E_{x}<\infty }}$ ，此信号称为能量信号 。

$\bullet$ 如果信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的平均功率 ${\boldsymbol {P_{x}}}$ 有定义而且为有限值，亦即 ${\boldsymbol {0<P_{x}<\infty }}$ ，此信号则称为功率信号 。

$\bullet$ 一般而言，周期信号为功率信号 。

$\bullet$ 假如一信号不符合上述能量及功率特性，则此信号既非能量信号也非功率信号 。

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范例1.5

考虑周期为 ${\boldsymbol {T_{0}}}$ 的周期信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${\boldsymbol {Acos(\omega _{0}t+\theta )}}$ ，其中角频率 ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$ = ${\frac {2\pi }{T_{0}}}$ ; ${\boldsymbol {\theta }}$ 是一常数，分析此信号为能量或功率信号 ？

【解】 因为是周期信号，${\boldsymbol {x(t)}}$ 的平均功率

    $P_{x}={\frac {1}{T_{0}}}$$\int _{0}^{T_{0}}\left|{x(t)}\right|^{2}dt$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$$\int _{0}^{T_{0}}{A^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\theta )}dt$
         
       = ${\frac {1}{T_{0}}}$$\int _{0}^{T_{0}}{A^{2}{\frac {1+cos(2\omega _{0}t+2\theta )}{2}}}dt$
       
       = ${\frac {1}{2T_{0}}}$$\int _{0}^{T_{0}}{A^{2}}dt$ + ${\frac {A^{2}}{2T_{0}}}$$\int _{0}^{T_{0}}{cos(2\omega _{0}t+2\theta )}dt$ = ${\frac {A^{2}}{2}}$ $<\infty$
    
    
    
    
    上式第二項之弦波訊號積分整數個週期結果為 ${\boldsymbol {0}}$ 。
     
     因為 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的平均功率值有限，此訊號為功率訊號  。

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范例1.6

信号 $x(t)={\begin{cases}e^{-at},&{\mbox{t}}\geq {\mbox{0 }}\\{0},&{\mbox{else}}\end{cases}}$ ， 其中 ${\boldsymbol {a>0}}$  ; 说明此信号为能量信号 。

【解】 计算 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的总能量

     $E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}(t)\,dt$ = $\int _{0}^{\infty }e^{-2at}\,dt$ = ${\frac {-1}{2a}}e^{-2at}$ $|_{0}^{\infty }$ = ${\frac {1}{2a}}<{\infty }$
    
    因為 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的總能量有限，此訊號為能量訊號  。

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范例1.7

信号 $x(t)={\begin{cases}{t},&{\mbox{t}}\geq {\mbox{0 }}\\{0},&{\mbox{else}}\end{cases}}$  ; 说明此信号既非能量信号也非功率信号 。

【解】 计算 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的总能量

       $E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{x}^{2}(t)\,dt$ = $\int _{0}^{\infty }{t}^{2}\,dt$ = ${\frac {t^{3}}{3}}$ $|_{0}^{\infty }$ $\rightarrow$ ${\infty }$
            

    計算 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 的平均功率
       
      
       $P_{x}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}$$\int _{0}^{\frac {T}{2}}{t}^{2}\,dt$ = $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}$${\frac {({\frac {T}{2}})^{3}}{3}}$ = $\lim _{T\to \infty }$${\frac {T^{2}}{24}}$ $\rightarrow$ ${\infty }$
 
 

由以上計算得知：${\boldsymbol {x(t)}}$ 的總能量與平均功率皆為 $\infty$ ，因此這個訊號既非能量訊號也非功率訊號 。

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定型(deterministic)信号 V.S 随机(random)信号

$\bullet$ 定型信号(deterministic signal) : 在任何给定时间 ${\boldsymbol {t}}$ 其信号大小皆为固定可知的，也就是说定型信号可用已知的函数或图形加以描述或表示。

$\bullet$ 随机信号(random signal) : 有些信号在任何时间的信号大小是随机而不可预知，此类信号仅能用几率及统计特性描述。

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范例1.8

信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$= ${\boldsymbol {\cos }}$ ${\boldsymbol {(\omega _{0}t+\theta )}}$ ，举例说明 ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$ 与 ${\boldsymbol {\theta }}$ 之特性以分析此信号为定型信号或随机信号 。

【解】

     若 ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$ 與 ${\boldsymbol {\theta }}$ 是常數，則 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 是定型訊號(任意時間 ${\boldsymbol {t}}$ 其函數值 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 均已是固定的值)。
     反之，若 ${\boldsymbol {\omega _{0}}}$ 是常數，而${\boldsymbol {\theta }}$ = ${\frac {\pi }{3}}$ 或 $-{\frac {\pi }{3}}$ 的機率各半，此情況下的${\boldsymbol {x(t)}}$則為隨機訊號
    (任意時間 ${\boldsymbol {t}}$ 的函數值 ${\boldsymbol {x(t)}}$無法預知，因為 ${\boldsymbol {\theta }}$ 可能是 ${\frac {\pi }{3}}$ 或 $-{\frac {\pi }{3}}$) 。

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奇(odd)信号 V.S 偶(even)信号

$\bullet$ 偶信号(even signal) :

 ${\boldsymbol {x(-t)}}$ = ${\boldsymbol {x(t)}}$

$\bullet$ 奇信号(odd signal) :

 ${\boldsymbol {x(-t)}}$ = ${\boldsymbol {-x(t)}}$

                              圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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奇偶信号的特性

$\bullet$ 偶信号 $\times$ 奇信号 = 奇信号

$\bullet$ 奇信号 $\times$ 奇信号 = 偶信号

$\bullet$ 偶信号 $\times$ 偶信号 = 偶信号

$\bullet$ $\int _{-a}^{a}x_{e}(t)\,dt$ = $2\int _{0}^{a}x_{e}(t)\,dt$ , ( ${\boldsymbol {x_{e}(t)}}$ 是偶信号)

$\bullet$ $\int _{-a}^{a}x_{0}(t)\,dt$ = $\mathbf {0}$ , ( ${\boldsymbol {x_{0}(t)}}$ 是奇信号)

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信号表示成奇信号与偶信号之和

$\bullet$ 任意信号可以表示成一个奇信号与偶信号之和 。

       ${\boldsymbol {x(t)}}$ = ${\boldsymbol {x_{e}(t)}}$ + ${\boldsymbol {x_{0}(t)}}$

  其中                                                                                                                            
       
       $x_{e}(t)={\frac {1}{2}}$ $\left[x(t)+x(-t)\right]$
      
       $x_{0}(t)={\frac {1}{2}}$ $\left[x(t)-x(-t)\right]$

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范例1.9

将信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$= $e^{-at}u(t)$ ，表示成奇信号与偶信号之和 ${\boldsymbol {x(t)}}$= ${\boldsymbol {x_{e}(t)}}$ + ${\boldsymbol {x_{0}(t)}}$

      其中  $x_{e}(t)={\frac {1}{2}}$ $\left[e^{-at}u(t)+e^{-at}u(-t)\right]$     ,   $a>0$                                   $(even)$
           
           $x_{0}(t)={\frac {1}{2}}$ $\left[e^{-at}u(t)-e^{-at}u(-t)\right]$                                                $(odd)$
   

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范例1.10

信号 ${\boldsymbol {x(t)}}$= ${\boldsymbol {\cos }}$ ${\boldsymbol {(\omega _{0}t+{\frac {\pi }{6}})}}$ ，求其偶信号部分与奇信号部分 。

【解】 利用三角函数公式直接改写原信号  :

     ${\boldsymbol {x(t)}}$= ${\boldsymbol {\cos }}$ ${\boldsymbol {(\omega _{0}t+{\frac {\pi }{6}})}}$ = ${\boldsymbol {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\boldsymbol {\cos(\omega _{0}t)}}$ - ${\boldsymbol {\frac {1}{2}}}$ ${\boldsymbol {\sin(\omega _{0}t)}}$
     
    
     
     其中弦波訊號 ${\boldsymbol {\cos(\omega _{0}t)}}$ 與 ${\boldsymbol {\sin(\omega _{0}t)}}$ 分別是偶訊號和奇訊號 。

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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