訊號與系統/訊號的特性

訊號的特性

$\bullet$ 連續時間(continuous-time)訊號 V.S 離散時間(discrete-time)訊號

$\bullet$ 類比(analog)訊號 V.S 數位(digital)訊號

$\bullet$ 週期(periodic)訊號 V.S 非週期(aperiodic)訊號

$\bullet$ 因果(causal)訊號 V.S 非因果(non causal)訊號

$\bullet$ 能量(energy)訊號 V.S 功率(power)訊號

$\bullet$ 定型(deterministic)訊號 V.S 隨機(random)訊號

$\bullet$ 奇(odd)訊號 V.S 偶(even)訊號

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連續時間(continuous-time)訊號 V.S 離散時間(discrete-time)訊號

$\bullet$ 連續時間訊號 ：所有時間均有指定訊號的大小 。

                   (a) 0.05秒的聲音信號             

$\bullet$ 離散時間訊號 ：只在特定的離散時間點有定義訊號的大小 。

                   (b) 2002年台年的每月平均溫度

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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類比(analog)訊號 V.S 數位(digital)訊號

$\bullet$ 類比訊號 ：訊號的大小落在一個或幾個連續的範圍內 。

$\bullet$ 數位訊號 ：訊號的大小只有特定的 $𝒎$ 個可能值 。

       $\Rightarrow$ $𝒎$ 元( m-ary )訊號
             
          (右圖為三元 binary 訊號)

                              圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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範例1.3

$\bullet$ 連續時間(continuous-time)訊號 vs 離散時間(discrete-time)訊號是依據訊號的時間軸特性來作分類 ；

   類比(analog)訊號 vs 數位(digital)訊號則由訊號大小的可能值作區別 。

                                (a) 連續時間類比訊號      (b) 連續時間數位訊號
                                (c) 離散時間類比訊號      (d) 離散時間數位訊號

                                   圖出處 © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

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週期(periodic)訊號 V.S 非週期(aperiodic)訊號

$\bullet$ 週期訊號 : 存在常數 ${𝑻}_0$ ，使得所有時間 $𝒕$ 均滿足 :

            $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{+}{𝑻}_0\mathit{)}\mathit{=}𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$

$\bullet$ 所有可能的 ${𝑻}_0$ 值中最小且大於零者，稱為 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 的基本週期(period) 。

$\bullet$ 週期訊號由 $𝒕$ = $-\mathrm{\infty }$ 開始並持續至永久( $𝒕$ = $+\mathrm{\infty }$ ) 。

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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範例1.4

說明訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ = $e^{j2\pi f_{0}t}$ 為週期訊號，並求其週期 。

【解】 若 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 是週期訊號，$𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 須滿足

         $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{+}{𝑻}_0\mathit{)}$ = $e^{j2\pi f_0(t+T_0)}$ = $e^{j2\pi f_{0}t}$$e^{j2\pi f_0{T}_0}$ = $e^{j2\pi f_{0}t}$ = $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$    
   
    
    上式要成立，必須 $e^{j2\pi f_0{T}_0}$ = $1$ 。

特例 :

    (i)  ${𝒇}_0\mathit{=}0$ 時，任意 ${𝑻}_0$ 值皆符合，但此情況無法定義最小正 ${𝑻}_0$ 值，即無法找到週期或週期為 $\mathrm{\infty }\Rightarrow$ 直流訊號 。
     
    (ii) 若 ${𝒇}_0\mathit{\ne }0$ ，當 $2𝝅{𝒇}_0{𝑻}_0\mathit{=}2𝒎𝝅$ 時( $𝒎$ 為任意整數) $e^{j2\pi f_0{T}_0}$ = $1$ ，故 $T_0=\frac{m}{f_0}$ 。
          當$𝒎\mathit{=}1$ 時，有最小正 ${𝑻}_0$ 值，故週期為 $\frac{1}{f_0}$ 。  
          ${𝑻}_0\mathit{=}\frac{1}{f_0}$ ，滿足週期訊號的條件，週期為 ${𝒆}^{𝒋2𝒎𝝅}$ = $1$  。　
                       

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因果(causal)訊號 V.S 非因果(non causal)訊號

$\bullet$ 因果訊號 :

             $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}\mathit{=}0$                 ,     $𝒕<0$

$\bullet$ 非因果訊號 :

             $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}\mathit{\ne }0$                ,      $𝒕<0$

$\bullet$ 反因果(anticausal)訊號 :

             $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}\mathit{=}0$                 ,     $𝒕\mathit{\ge }0$

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能量(energy)訊號 V.S 功率(power)訊號

$\bullet$ 訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 的總能量 ${𝑬}_{𝒙}$ 有定義而且為有限值，亦即 $0<{𝑬}_{𝒙}<\infty$ ，此訊號稱為能量訊號 。

$\bullet$ 如果訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 的平均功率 ${𝑷}_{𝒙}$ 有定義而且為有限值，亦即 $0<{𝑷}_{𝒙}<\infty$ ，此訊號則稱為功率訊號 。

$\bullet$ 一般而言，週期訊號為功率訊號 。

$\bullet$ 假如一訊號不符合上述能量及功率特性，則此訊號既非能量訊號也非功率訊號 。

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範例1.5

考慮週期為 ${𝑻}_0$ 的週期訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ = $𝑨𝒄𝒐𝒔\mathit{(}{𝝎}_0𝒕\mathit{+}𝜽\mathit{)}$ ，其中角頻率 ${𝝎}_0$ = $\frac{2\pi }{T_0}$ ; $𝜽$ 是一常數，分析此訊號為能量或功率訊號 ？

【解】 因為是週期訊號，$𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 的平均功率

    $P_x=\frac{1}{T_0}$${\int }_0^{T_0}{\left|x(t)\right|}^{2}dt$ = $\frac{1}{T_0}$${\int }_0^{T_0}{A}^{2}co{s}^2({\omega }_{0}t+\theta )dt$
         
       = $\frac{1}{T_0}$${\int }_0^{T_0}{A}^2\frac{1+cos(2{\omega }_{0}t+2\theta )}{2}dt$
       
       = $\frac{1}{2T_0}$${\int }_0^{T_0}{A}^{2}dt$ + $\frac{A^2}{2T_0}$${\int }_0^{T_0}cos(2{\omega }_{0}t+2\theta )dt$ = $\frac{A^2}{2}$ $<\mathrm{\infty }$
    
    
    
    
    上式第二項之弦波訊號積分整數個週期結果為 $0$ 。
     
     因為 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 的平均功率值有限，此訊號為功率訊號  。

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範例1.6

訊號 $x(t)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-at},& \text{t}\ge \text{0 }\\ 0,& \text{else}\end{array}$ ， 其中 $𝒂>0$  ; 說明此訊號為能量訊號 。

【解】 計算 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 的總能量

     $E_x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2(t)dt$ = ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2at}dt$ = $\frac{-1}{2a}{e}^{-2at}$ ${|}_0^{\mathrm{\infty }}$ = $\frac{1}{2a}<\mathrm{\infty }$
    
    因為 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 的總能量有限，此訊號為能量訊號  。

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範例1.7

訊號 $x(t)=\{\begin{array}{cc}t,& \text{t}\ge \text{0 }\\ 0,& \text{else}\end{array}$  ; 說明此訊號既非能量訊號也非功率訊號 。

【解】 計算 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 的總能量

       $E_x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2(t)dt$ = ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{2}dt$ = $\frac{t^3}{3}$ ${|}_0^{\mathrm{\infty }}$ $\to$ $\mathrm{\infty }$
            

    計算 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 的平均功率
       
      
       $P_x=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}$${\int }_0^{\frac{T}{2}}{t}^{2}dt$ = $\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}$$\frac{(\frac{T}{2}{)}^3}{3}$ = $\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}$$\frac{T^2}{24}$ $\to$ $\mathrm{\infty }$
 
 

由以上計算得知：$𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 的總能量與平均功率皆為 $\mathrm{\infty }$ ，因此這個訊號既非能量訊號也非功率訊號 。

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定型(deterministic)訊號 V.S 隨機(random)訊號

$\bullet$ 定型訊號(deterministic signal) : 在任何給定時間 $𝒕$ 其訊號大小皆為固定可知的，也就是說定型訊號可用已知的函數或圖形加以描述或表示。

$\bullet$ 隨機訊號(random signal) : 有些訊號在任何時間的訊號大小是隨機而不可預知，此類訊號僅能用機率及統計特性描述。

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範例1.8

訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$= $\mathit{cos}$ $\mathit{(}{𝝎}_0𝒕\mathit{+}𝜽\mathit{)}$ ，舉例說明 ${𝝎}_0$ 與 $𝜽$ 之特性以分析此訊號為定型訊號或隨機訊號 。

【解】

     若 ${𝝎}_0$ 與 $𝜽$ 是常數，則 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 是定型訊號(任意時間 $𝒕$ 其函數值 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 均已是固定的值)。
     反之，若 ${𝝎}_0$ 是常數，而$𝜽$ = $\frac{\pi }{3}$ 或 $-\frac{\pi }{3}$ 的機率各半，此情況下的$𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$則為隨機訊號
    (任意時間 $𝒕$ 的函數值 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$無法預知，因為 $𝜽$ 可能是 $\frac{\pi }{3}$ 或 $-\frac{\pi }{3}$) 。

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奇(odd)訊號 V.S 偶(even)訊號

$\bullet$ 偶訊號(even signal) :

 $𝒙\mathit{(}\mathit{-}𝒕\mathit{)}$ = $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$

$\bullet$ 奇訊號(odd signal) :

 $𝒙\mathit{(}\mathit{-}𝒕\mathit{)}$ = $\mathit{-}𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$

                              圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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奇偶訊號的特性

$\bullet$ 偶訊號 $\times$ 奇訊號 = 奇訊號

$\bullet$ 奇訊號 $\times$ 奇訊號 = 偶訊號

$\bullet$ 偶訊號 $\times$ 偶訊號 = 偶訊號

$\bullet$ ${\int }_{-a}^a{x}_e(t)dt$ = $2{\int }_0^a{x}_e(t)dt$ , ( ${𝒙}_{𝒆}\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 是偶訊號)

$\bullet$ ${\int }_{-a}^a{x}_0(t)dt$ = $\mathrm{𝟎}$ , ( ${𝒙}_0\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ 是奇訊號)

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訊號表示成奇訊號與偶訊號之和

$\bullet$ 任意訊號可以表示成一個奇訊號與偶訊號之和 。

       $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ = ${𝒙}_{𝒆}\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ + ${𝒙}_0\mathit{(}𝒕\mathit{)}$

  其中                                                                                                                            
       
       $x_e(t)=\frac{1}{2}$ $[x(t)+x(-t)]$
      
       $x_0(t)=\frac{1}{2}$ $[x(t)-x(-t)]$

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範例1.9

將訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$= $e^{-at}u(t)$ ，表示成奇訊號與偶訊號之和 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$= ${𝒙}_{𝒆}\mathit{(}𝒕\mathit{)}$ + ${𝒙}_0\mathit{(}𝒕\mathit{)}$

      其中  $x_e(t)=\frac{1}{2}$ $[e^{-at}u(t)+e^{-at}u(-t)]$     ,   $a>0$                                   $(even)$
           
           $x_0(t)=\frac{1}{2}$ $[e^{-at}u(t)-e^{-at}u(-t)]$                                                $(odd)$
   

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範例1.10

訊號 $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$= $\mathit{cos}$ $\mathit{(}{𝝎}_0𝒕\mathit{+}\frac{\pi }{6}\mathit{)}$ ，求其偶訊號部分與奇訊號部份 。

【解】 利用三角函數公式直接改寫原訊號  :

     $𝒙\mathit{(}𝒕\mathit{)}$= $\mathit{cos}$ $\mathit{(}{𝝎}_0𝒕\mathit{+}\frac{\pi }{6}\mathit{)}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\mathit{cos}\mathit{(}{𝝎}_0𝒕\mathit{)}$ - $\frac{1}{2}$ $\mathit{sin}\mathit{(}{𝝎}_0𝒕\mathit{)}$
     
    
     
     其中弦波訊號 $\mathit{cos}\mathit{(}{𝝎}_0𝒕\mathit{)}$ 與 $\mathit{sin}\mathit{(}{𝝎}_0𝒕\mathit{)}$ 分別是偶訊號和奇訊號 。

                                   圖出處 © 余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

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