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垂心座標
假設
![{\displaystyle {\vec {a}}={\overrightarrow {BC}},{\vec {b}}={\overrightarrow {CA}},{\vec {c}}={\overrightarrow {AB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3fa51f0374d586fb081a5bdbc4efdd83cf2897)
則
![{\displaystyle H={\frac {\alpha A+\beta B+\gamma C}{\alpha +\beta +\gamma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a29635b3bbd3e77811ea634ff28502feeb0884)
其中
![{\displaystyle {\begin{matrix}\alpha =({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\\\beta =({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})({\vec {b}}\cdot {\vec {a}})\\\gamma =({\vec {c}}\cdot {\vec {a}})({\vec {c}}\cdot {\vec {b}})\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e980b0cb83f5c1b8a7a5d632132e6e4b4c9e9c8)
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你必須先知道:邏輯通路/向量內積、分點公式、三角形投影公式
我們知道 △ABC 的重心座標計算公式是:
![{\displaystyle {\frac {A+B+C}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae7b06e813748aefd0828fe8cb8d1e35c6cda6f5)
內心座標計算公式是:
![{\displaystyle {\frac {aA+bB+cC}{a+b+c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f344164b3e06fa1678986fa5ebe337eb410c2ae0)
那麼如果我們知道 A、B、C 的座標的話,垂心座標又該如何計算呢?從右圖中,我們可以看出來:F 是 A、B 的分點,H 是 F、C 的分點,所以我們打算利用「分點公式」來計算 H 的座標。
假設
![{\displaystyle a={\overline {BC}},b={\overline {CA}},c={\overline {AB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa342684201a0bbb06a5da25d600eacd0e93efa4)
首先我們先計算
與
的量[1]:
因為
![{\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {AC}}}=\cos A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16b39cb08756b2391a1e2f7592670f54a299445)
所以
![{\displaystyle {\overline {AF}}={\overline {AC}}\cos A=b\cos A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bbc3795ebfe0160d54185f49da12ad648bbec8)
同理,因為
![{\displaystyle {\frac {\overline {FB}}{\overline {CB}}}=\cos B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa38c08a745bebe3933e3fe570c1b4c32bbee4f6)
所以
![{\displaystyle {\overline {FB}}={\overline {CB}}\cos B=a\cos B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267e09dd5446905b47a62a02f4876e2dd7ea3f5e)
註釋:
- ↑ 此處的計算牽涉到 cos 函數,所以會有正負的問題(銳角為正,鈍角為負),因此我們並不只是單純的計算「長度」而已。