邏輯通路/三角形投影公式

你必須先知道：三角函數的定義

投影公式 在 △ABC 中，若設三邊長為： $a=\overline{BC},b=\overline{CA},c=\overline{AB}$ 則： $\{\begin{array}{c}a=b\cos C+c\cos B\\ b=c\cos A+a\cos C\\ c=a\cos B+b\cos A\end{array}$

證明

我們將說明為甚麼 $a=b\cos C+c\cos B$，至於其他兩個公式，因為證法一樣，所以就不再重複了。

在上圖中，$\overline{AD}\perp \overline{BC}$，因此

$\frac{\overline{BD}}{c}=\cos B\Rightarrow \overline{BD}=c\cos B$

$\frac{\overline{DC}}{b}=\cos C\Rightarrow \overline{DC}=b\cos C$

所以

$a=\overline{BD}+\overline{DC}=c\cos B+b\cos C$

其他情況

（圖二）$\mathrm{\angle }B$ 是鈍角，$\mathrm{\angle }C$ 是銳角

（圖三）$\mathrm{\angle }B$ 是銳角，$\mathrm{\angle }C$ 是鈍角

當然三角形也可能呈現如右圖二或右圖三的情況，但並不影響本公式的正確性。以下我們只討論（圖二）的情況： 在（圖二）中，

$c\cos B=-\overline{BD}$

$b\cos C=\overline{CD}$

因此

$b\cos C+c\cos B=\overline{CD}-\overline{BD}=\overline{BC}$

所以本公式又再一次得到驗證。

分點公式

$D=\frac{(b\cos C)B+(c\cos B)C}{a}$

其他證法

利用「餘弦定理」證明