高中数学(版聊式)/第4节:常用三角函数

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在这一节我们将讨论几个重要的三角函数:正余弦函数与正切函数,其他的三角函数将在第二册中进行研究.

在这一节我们将讨论几个重要的三角函数:正余弦函数与正切函数,其他的三角函数将在第二册中进行研究.

三角函数概念[编辑]

1.正弦函数 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系(详情见弧度制,可查第二册),而一个确定的角又能对应着唯一的一个三角函数值,这样,给定一个x∈R,总有唯一确定的f(x)=sinx与之对应,由这个对应法则给出的函数叫做正弦函数,显然它的定义域是R: y=sinx,x∈R

奇偶性:由诱导公式sin(-x)=-sin(x)可知y=sinx是奇函数

有界性:y=sinx的值域是[-1,1],也就是-1≤sinx≤1,即|sinx|≤1

周期性:由sin(x+2kπ)=sinx可知,2kπ是它的一个周期,k=1时是它的最小正周期即2π.

2.余弦函数 根据诱导公式sin(π/2-x)=cosx,余弦函数y=cosx可以由y=sinx向左平移π/2个单位得到,它的定义域、值域、周期性、有界性与正弦函数y=sinx是一致的,而奇偶性根据诱导公式cos(-x)=cosx可知y=cosx是奇函数.

3.正切函数 对于实数x(x≠π/2+kπ),总有唯一的tanx与之对应,从而构造正切函数y=tanx,x≠π/2+kπ)

奇偶性:根据诱导公式tan(-x)=-tan(x)可知正切函数是奇函数

有界性:由于在(-π/2,π/2)上tanx∈R,所以tanx没有最大值也没有最小值.

周期性:由诱导公式tan(x+π)=tanx可知,kπ是它的一个周期,k=1时是它的最小正周期π.


函数名 y=sinx y=cosx y=tanx
定义域 R R 示例
值域 [-1,1] [-1,1] R
增区间 [-π/2+2kπ,π/2+2kπ],k∈Z [2kπ,π+2kπ],k∈Z (-π/2+kπ,π/2+kπ),k∈Z
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
最小正周期 π


正弦函数y=Asin(ωx+φ)+k的运用[编辑]

对于y=sinx,x∈R来说,它的周期是2π

下面首先考察f(x)=sinx与g(x)=3sinx的关系

g(x)相当于f(x)的三倍,即假设在x0处f(x)取得函数值f(x0),那么g(x)在x0处取得的函数值为g(x0)=3f(x0),也就是把f(x)扩大了3倍,从图像上来看,就是把sinx的图像纵坐标扩大为原来的3倍而横坐标不变.

根据这个推理过程,我们有以下结论:y=Asinx(A>0)可看做由y=sinx图像上的点的横坐标不变,纵坐标扩大(A>1)(或减小(0<A<1))A倍得到的.