高中数学（版聊式）/第4节:常用三角函数
在这一节我们将讨论几个重要的三角函数：正余弦函数与正切函数，其他的三角函数将在第二册中进行研究.
在这一节我们将讨论几个重要的三角函数：正余弦函数与正切函数，其他的三角函数将在第二册中进行研究.
三角函数概念
[编辑]1.正弦函数 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系(详情见弧度制,可查第二册)，而一个确定的角又能对应着唯一的一个三角函数值，这样，给定一个x∈R,总有唯一确定的f(x)=sinx与之对应，由这个对应法则给出的函数叫做正弦函数，显然它的定义域是R: y=sinx,x∈R
奇偶性:由诱导公式sin(-x)=-sin(x)可知y=sinx是奇函数
有界性:y=sinx的值域是[-1,1]，也就是-1≤sinx≤1，即|sinx|≤1
周期性：由sin(x+2kπ)=sinx可知，2kπ是它的一个周期，k=1时是它的最小正周期即2π.
2.余弦函数 根据诱导公式sin(π/2-x)=cosx,余弦函数y=cosx可以由y=sinx向左平移π/2个单位得到，它的定义域、值域、周期性、有界性与正弦函数y=sinx是一致的，而奇偶性根据诱导公式cos(-x)=cosx可知y=cosx是奇函数.
3.正切函数 对于实数x(x≠π/2+kπ)，总有唯一的tanx与之对应，从而构造正切函数y=tanx，x≠π/2+kπ)
奇偶性:根据诱导公式tan(-x)=-tan(x)可知正切函数是奇函数
有界性:由于在(-π/2,π/2)上tanx∈R，所以tanx没有最大值也没有最小值.
周期性:由诱导公式tan(x+π)=tanx可知，kπ是它的一个周期，k=1时是它的最小正周期π.
| 函数名 | y=sinx | y=cosx | y=tanx |
|---|---|---|---|
| 定义域 | R | R | 示例 |
| 值域 | [-1,1] | [-1,1] | R |
| 增区间 | [-π/2+2kπ,π/2+2kπ],k∈Z | [2kπ,π+2kπ],k∈Z | (-π/2+kπ,π/2+kπ),k∈Z |
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
| 最小正周期 | 2π | 2π | π |
正弦函数y=Asin(ωx+φ)+k的运用
[编辑]对于y=sinx，x∈R来说，它的周期是2π
下面首先考察f(x)=sinx与g(x)=3sinx的关系
g(x)相当于f(x)的三倍，即假设在x0处f(x)取得函数值f(x0),那么g(x)在x0处取得的函数值为g(x0)=3f(x0),也就是把f(x)扩大了3倍,从图像上来看，就是把sinx的图像纵坐标扩大为原来的3倍而横坐标不变.
根据这个推理过程，我们有以下结论:y=Asinx(A>0)可看做由y=sinx图像上的点的横坐标不变，纵坐标扩大(A>1)(或减小(0<A<1))A倍得到的.