高中數學（版聊式）/第4節:常用三角函數
在這一節我們將討論幾個重要的三角函數：正餘弦函數與正切函數，其他的三角函數將在第二冊中進行研究.
在這一節我們將討論幾個重要的三角函數：正餘弦函數與正切函數，其他的三角函數將在第二冊中進行研究.
三角函數概念
[編輯]1.正弦函數 實數集與角的集合可以建立一一對應的關係(詳情見弧度制,可查第二冊)，而一個確定的角又能對應着唯一的一個三角函數值，這樣，給定一個x∈R,總有唯一確定的f(x)=sinx與之對應，由這個對應法則給出的函數叫做正弦函數，顯然它的定義域是R: y=sinx,x∈R
奇偶性:由誘導公式sin(-x)=-sin(x)可知y=sinx是奇函數
有界性:y=sinx的值域是[-1,1]，也就是-1≤sinx≤1，即|sinx|≤1
周期性：由sin(x+2kπ)=sinx可知，2kπ是它的一個周期，k=1時是它的最小正周期即2π.
2.餘弦函數 根據誘導公式sin(π/2-x)=cosx,餘弦函數y=cosx可以由y=sinx向左平移π/2個單位得到，它的定義域、值域、周期性、有界性與正弦函數y=sinx是一致的，而奇偶性根據誘導公式cos(-x)=cosx可知y=cosx是奇函數.
3.正切函數 對於實數x(x≠π/2+kπ)，總有唯一的tanx與之對應，從而構造正切函數y=tanx，x≠π/2+kπ)
奇偶性:根據誘導公式tan(-x)=-tan(x)可知正切函數是奇函數
有界性:由於在(-π/2,π/2)上tanx∈R，所以tanx沒有最大值也沒有最小值.
周期性:由誘導公式tan(x+π)=tanx可知，kπ是它的一個周期，k=1時是它的最小正周期π.
| 函數名 | y=sinx | y=cosx | y=tanx |
|---|---|---|---|
| 定義域 | R | R | 示例 |
| 值域 | [-1,1] | [-1,1] | R |
| 增區間 | [-π/2+2kπ,π/2+2kπ],k∈Z | [2kπ,π+2kπ],k∈Z | (-π/2+kπ,π/2+kπ),k∈Z |
| 奇偶性 | 奇函數 | 偶函數 | 奇函數 |
| 最小正周期 | 2π | 2π | π |
正弦函數y=Asin(ωx+φ)+k的運用
[編輯]對於y=sinx，x∈R來說，它的周期是2π
下面首先考察f(x)=sinx與g(x)=3sinx的關係
g(x)相當於f(x)的三倍，即假設在x0處f(x)取得函數值f(x0),那麼g(x)在x0處取得的函數值為g(x0)=3f(x0),也就是把f(x)擴大了3倍,從圖像上來看，就是把sinx的圖像縱坐標擴大為原來的3倍而橫坐標不變.
根據這個推理過程，我們有以下結論:y=Asinx(A>0)可看做由y=sinx圖像上的點的橫坐標不變，縱坐標擴大(A>1)(或減小(0<A<1))A倍得到的.