高中數學(版聊式)/第4節:常用三角函數

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在這一節我們將討論幾個重要的三角函數:正餘弦函數與正切函數,其他的三角函數將在第二冊中進行研究.

在這一節我們將討論幾個重要的三角函數:正餘弦函數與正切函數,其他的三角函數將在第二冊中進行研究.

三角函數概念[編輯]

1.正弦函數 實數集與角的集合可以建立一一對應的關係(詳情見弧度制,可查第二冊),而一個確定的角又能對應着唯一的一個三角函數值,這樣,給定一個x∈R,總有唯一確定的f(x)=sinx與之對應,由這個對應法則給出的函數叫做正弦函數,顯然它的定義域是R: y=sinx,x∈R

奇偶性:由誘導公式sin(-x)=-sin(x)可知y=sinx是奇函數

有界性:y=sinx的值域是[-1,1],也就是-1≤sinx≤1,即|sinx|≤1

周期性:由sin(x+2kπ)=sinx可知,2kπ是它的一個周期,k=1時是它的最小正周期即2π.

2.餘弦函數 根據誘導公式sin(π/2-x)=cosx,餘弦函數y=cosx可以由y=sinx向左平移π/2個單位得到,它的定義域、值域、周期性、有界性與正弦函數y=sinx是一致的,而奇偶性根據誘導公式cos(-x)=cosx可知y=cosx是奇函數.

3.正切函數 對於實數x(x≠π/2+kπ),總有唯一的tanx與之對應,從而構造正切函數y=tanx,x≠π/2+kπ)

奇偶性:根據誘導公式tan(-x)=-tan(x)可知正切函數是奇函數

有界性:由於在(-π/2,π/2)上tanx∈R,所以tanx沒有最大值也沒有最小值.

周期性:由誘導公式tan(x+π)=tanx可知,kπ是它的一個周期,k=1時是它的最小正周期π.


函數名 y=sinx y=cosx y=tanx
定義域 R R 示例
值域 [-1,1] [-1,1] R
增區間 [-π/2+2kπ,π/2+2kπ],k∈Z [2kπ,π+2kπ],k∈Z (-π/2+kπ,π/2+kπ),k∈Z
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
最小正周期 π


正弦函數y=Asin(ωx+φ)+k的運用[編輯]

對於y=sinx,x∈R來說,它的周期是2π

下面首先考察f(x)=sinx與g(x)=3sinx的關係

g(x)相當於f(x)的三倍,即假設在x0處f(x)取得函數值f(x0),那麼g(x)在x0處取得的函數值為g(x0)=3f(x0),也就是把f(x)擴大了3倍,從圖像上來看,就是把sinx的圖像縱坐標擴大為原來的3倍而橫坐標不變.

根據這個推理過程,我們有以下結論:y=Asinx(A>0)可看做由y=sinx圖像上的點的橫坐標不變,縱坐標擴大(A>1)(或減小(0<A<1))A倍得到的.