高中数学/函数与三角/万能公式与多倍角相关公式

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阅读指南[编辑]

本节介绍的内容属于高中数学的拓展知识,并不要求大多数中学生了解。

万能公式在后续的积分学课程中会有一定的用途,是三角换元的一种常见技巧。三倍角公式则不是很重要,也不需要记忆,但其推导不算复杂,可以作为提升基础的例题。

基础知识[编辑]

万能公式[编辑]

万能公式也叫正切半角公式tangent half-angle formulas),是一组只用正切函数表示其它三角函数的公式统称,它们形式相似,都只含有原角大小一半的正切值。

三倍角的正弦、余弦、正切公式[编辑]

求一个角的三倍的三角函数值,可以套用2次二倍角公式,从而得到三倍角公式formulae for triple angles)。

三倍角的正、余弦公式还有另一种形式,但需要在推导过程中对2个同类型三角函数之和或之差使用和差化积技巧:

Crystal Project Warehause 三倍角的常见公式列举如下:

上述正弦和余弦的三倍角公式的前半部分都比较简单,考试时万一需要用到,完全可以现场推导;后半部分形式统一,比较好记,但是推导步骤较多。

Crystal Clear action edit 相关例题:在三角形ABC中,角A、B、C的对边长度分别是a、b、c。已知,求c的值。

解答:由正弦定理可知:

因为,所以
再用一次正弦定理可得:

使用正弦函数的三倍角公式可得:

答案:

多倍角公式简介[编辑]

n倍角的正弦、余弦公式是比较繁琐的求和式,需要使用二项式系数表示,求和时还需要区分奇数情形与偶数情形:

上式中的求和指标k应该取遍满足式子中奇偶条件的所有不超过n的非负整数。

巴夫努提·切比雪夫通过递归求解的思路,也得到了同样的结果。

例如,他将写成的如下递推式:

类似地,还有:

Crystal Clear app kdict 知识背景:满足的函数关系是一种以n为参数的知名多项式,叫做第一类切比雪夫多项式

补充习题[编辑]

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参考资料[编辑]

外部链接[编辑]

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