本節介紹的內容屬於高中數學的拓展知識,並不要求大多數中學生了解。
萬能公式在後續的積分學課程中會有一定的用途,是三角換元的一種常見技巧。三倍角公式則不是很重要,也不需要記憶,但其推導不算複雜,可以作為提升基礎的例題。
萬能公式也叫正切半角公式(tangent half-angle formulas),是一組只用正切函數表示其它三角函數的公式統稱,它們形式相似,都只含有原角大小一半的正切值。
求一個角的三倍的三角函數值,可以套用2次二倍角公式,從而得到三倍角公式(formulae for triple angles)。
三倍角的正、餘弦公式還有另一種形式,但需要在推導過程中對2個同類型三角函數之和或之差使用和差化積技巧:
三倍角的常見公式列舉如下:
上述正弦和餘弦的三倍角公式的前半部分都比較簡單,考試時萬一需要用到,完全可以現場推導;後半部分形式統一,比較好記,但是推導步驟較多。
相關例題:在三角形ABC中,角A、B、C的對邊長度分別是a、b、c。已知,求c的值。
答案:。
n倍角的正弦、餘弦公式是比較繁瑣的求和式,需要使用二項式係數表示,求和時還需要區分奇數情形與偶數情形:
上式中的求和指標k應該取遍滿足式子中奇偶條件的所有不超過n的非負整數。
巴夫努提·切比雪夫通過遞歸求解的思路,也得到了同樣的結果。
例如,他將寫成、和的如下遞推式:
類似地,還有:
知識背景:和滿足的函數關係是一種以n為參數的知名多項式,叫做第一類切比雪夫多項式。