高中數學/函數與三角/萬能公式與多倍角相關公式

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閱讀指南[編輯]

本節介紹的內容屬於高中數學的拓展知識,並不要求大多數中學生了解。

萬能公式在後續的積分學課程中會有一定的用途,是三角換元的一種常見技巧。三倍角公式則不是很重要,也不需要記憶,但其推導不算複雜,可以作為提升基礎的例題。

基礎知識[編輯]

萬能公式[編輯]

萬能公式也叫正切半角公式tangent half-angle formulas),是一組只用正切函數表示其它三角函數的公式統稱,它們形式相似,都只含有原角大小一半的正切值。

三倍角的正弦、餘弦、正切公式[編輯]

求一個角的三倍的三角函數值,可以套用2次二倍角公式,從而得到三倍角公式formulae for triple angles)。

三倍角的正、餘弦公式還有另一種形式,但需要在推導過程中對2個同類型三角函數之和或之差使用和差化積技巧:

Crystal Project Warehause 三倍角的常見公式列舉如下:

上述正弦和餘弦的三倍角公式的前半部分都比較簡單,考試時萬一需要用到,完全可以現場推導;後半部分形式統一,比較好記,但是推導步驟較多。

Crystal Clear action edit 相關例題:在三角形ABC中,角A、B、C的對邊長度分別是a、b、c。已知,求c的值。

解答:由正弦定理可知:

因為,所以
再用一次正弦定理可得:

使用正弦函數的三倍角公式可得:

答案:

多倍角公式簡介[編輯]

n倍角的正弦、餘弦公式是比較繁瑣的求和式,需要使用二項式係數表示,求和時還需要區分奇數情形與偶數情形:

上式中的求和指標k應該取遍滿足式子中奇偶條件的所有不超過n的非負整數。

巴夫努提·切比雪夫通過遞歸求解的思路,也得到了同樣的結果。

例如,他將寫成的如下遞推式:

類似地,還有:

Crystal Clear app kdict 知識背景:滿足的函數關係是一種以n為參數的知名多項式,叫做第一類切比雪夫多項式

補充習題[編輯]

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參考資料[編輯]

外部連結[編輯]

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