# 高中数学/向量与复数/向量的点积与夹角

## 基础知识

### 数量积与投影

• 数量积是由2个向量得到1个纯量的运算，其结果同时取决于2个向量的大小和它们的夹角。当夹角为锐角时，结果为正数；当夹角为直角时，结果为0；当夹角为钝角时，结果为负数。
• 由于${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}||{\vec {a}}|\cos 0=|{\vec {a}}|^{2}}$，即一个非零向量与自身的数量积等于其模的平方。

• ${\displaystyle |{\vec {a}}|^{2}}$常常被简单地记为${\displaystyle {\vec {a}}^{2}}$。即有${\displaystyle |{\vec {AB}}\cdot {\vec {AB}}|={\vec {AB}}^{2}=|{\vec {AB}}|^{2}=|AB|^{2}}$
• 在不引起混淆时，有的资料会将向量${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$的夹角记为${\displaystyle <{\vec {a}},{\vec {b}}>}$[2]

• ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}$
• ${\displaystyle (\lambda {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot (\lambda {\vec {a}})=\lambda ({\vec {b}}\cdot {\vec {a}})}$
• ${\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\quad (\lambda \in \mathbb {R} )}$

(1) ${\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}}$
(2) ${\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}}$
(3) ${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$的夹角大小为${\displaystyle 30^{\circ }}$

A. ${\displaystyle |{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\quad \Leftrightarrow \quad {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}}$
B. ${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$反向${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=-|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|}$
C. ${\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad |{\vec {a}}+{\vec {b}}|=|{\vec {a}}-{\vec {b}}|}$
D. ${\displaystyle |{\vec {a}}|=|{\vec {b}}|\quad \Leftrightarrow \quad |{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}|=|{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}|}$

### 数量积的坐标计算公式

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=(x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle {\vec {a}}(x_{1},y_{1}),{\vec {b}}(x_{2},y_{2})}$都是非零向量，${\displaystyle \theta }$是它们的夹角大小，则根据数量积的定义和坐标表示有[5]
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}(x_{1},y_{1}),{\vec {b}}(x_{2},y_{2})}$都是非零向量，则它们彼此垂直等价于[5]
${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}=0}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\vec {AB}}\cdot {\vec {AB}}=(x_{B}-x_{A})(x_{B}-x_{A})+(y_{B}-y_{A})(y_{B}-y_{A})\\\Rightarrow |{\vec {AB}}||{\vec {AB}}|\cos 0=(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}\\\Rightarrow |{\vec {AB}}|^{2}=(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}\\\Rightarrow |{\vec {AB}}|={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}\end{array}}}$

2个向量的加减法 ${\displaystyle {\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(x_{a}\pm x_{b},y_{a}\pm y_{b})}$ ${\displaystyle {\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(x_{a}\pm x_{b},y_{a}\pm y_{b},z_{a}\pm z_{b})}$

2个向量的内积 ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}}$
2个向量的平行
（假设其中的比例式都有意义）
${\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x_{b}}{x_{a}}}={\frac {y_{b}}{y_{a}}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x_{b}}{x_{a}}}={\frac {y_{b}}{y_{a}}}={\frac {z_{b}}{z_{a}}}}$
2个向量的垂直 ${\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}=0}$ ${\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}=0}$
2个向量的夹角计算 ${\displaystyle \theta ={\frac {x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}}{{\sqrt {x_{a}^{2}+y_{a}^{2}}}{\sqrt {x_{b}^{2}+y_{b}^{2}}}}}}$ ${\displaystyle \theta ={\frac {x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}}{{\sqrt {x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}}{\sqrt {x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}}}}}}$

(1) 求${\displaystyle {\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}}$的值。
(2) 求当a为何值时，${\displaystyle {\vec {OA}}}$${\displaystyle {\vec {OB}}}$的夹角大小为${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$

## 模型

### 涉及三角形中线与五心的问题

(1) O为三角形ABC的外心${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad |OA|^{2}=|OB|^{2}=|OC|^{2}}$
(2) O为三角形ABC的重心${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad {\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}={\vec {0}}}$
(3) O为三角形ABC的垂心${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad {\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}={\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}={\vec {OC}}\cdot {\vec {OA}}}$
(4) O为三角形ABC的内心${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad a{\vec {OA}}+b{\vec {OB}}+c{\vec {OC}}={\vec {0}}}$
(5) O为三角形ABC的角A的旁心${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad a{\vec {OA}}=b{\vec {OB}}+c{\vec {OC}}}$

## 补充习题

• 在平面非正交坐标系中，向量数量积的坐标计算公式是否仍然成立？

## 参考资料

1. 人民教育出版社中学数学室. 第5章“平面向量”第1部分“向量及其运算”第5.6节“平面向量的数量积及运算律”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第1册 (下) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 118–121. ISBN 7-107-17105-4 （中文（中国大陆））.
2. 中学数学实验教材编写组. 第3章“向量与向量运算”第2节“长度、角度与内积运算”第3.1小节“向量的内积”. 中学数学实验教材. 第5册 (上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 北京师范大学出版社. 1984: 238–241 （中文（中国大陆））. (统一书号：7243·230)
3. 刘初喜; 施洪亮; 蔡东山. 第7章“平面向量”第7.6节“线段的定比分点公式与向量的应用”. 华东师范大学第二附属中学(实验班用)·数学 高中上册 2. 中国上海永福路123号: 上海教育出版社. 2015: 198–199. ISBN 978-7-5444-6195-5 （中文（中国大陆））.
4. 人民教育出版社中学数学室. 第5章“平面向量”第1部分“向量及其运算”第5.7节“平面向量数量积的坐标表示”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第1册 (下) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 121–122. ISBN 7-107-17105-4 （中文（中国大陆））.
5. 章建跃 (本册主编+责任编辑); 任子朝; 张劲松; 蒋佩锦. 第2章“平面向量”第2.4节“平面向量的数量积”第2.4.2小节“平面向量数量积的坐标表示、模、夹角”. (编) 刘绍学 (主编); 钱珮玲 (副主编). 高中数学 (A版) 必修4 1. 中国北京市沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 119–120. ISBN 7-107-17708-7 （中文（中国大陆））.