# 高中數學/向量與複數/向量的點積與夾角

## 基礎知識

### 數量積與投影

• 數量積是由2個向量得到1個純量的運算，其結果同時取決於2個向量的大小和它們的夾角。當夾角為銳角時，結果為正數；當夾角為直角時，結果為0；當夾角為鈍角時，結果為負數。
• 由於${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}||{\vec {a}}|\cos 0=|{\vec {a}}|^{2}}$，即一個非零向量與自身的數量積等於其模的平方。

• ${\displaystyle |{\vec {a}}|^{2}}$常常被簡單地記為${\displaystyle {\vec {a}}^{2}}$。即有${\displaystyle |{\vec {AB}}\cdot {\vec {AB}}|={\vec {AB}}^{2}=|{\vec {AB}}|^{2}=|AB|^{2}}$
• 在不引起混淆時，有的資料會將向量${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$的夾角記為${\displaystyle <{\vec {a}},{\vec {b}}>}$[2]

• ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}$
• ${\displaystyle (\lambda {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot (\lambda {\vec {a}})=\lambda ({\vec {b}}\cdot {\vec {a}})}$
• ${\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\quad (\lambda \in \mathbb {R} )}$

(1) ${\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}}$
(2) ${\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}}$
(3) ${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$的夾角大小為${\displaystyle 30^{\circ }}$

A. ${\displaystyle |{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\quad \Leftrightarrow \quad {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}}$
B. ${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle {\vec {b}}}$反向${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=-|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|}$
C. ${\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad |{\vec {a}}+{\vec {b}}|=|{\vec {a}}-{\vec {b}}|}$
D. ${\displaystyle |{\vec {a}}|=|{\vec {b}}|\quad \Leftrightarrow \quad |{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}|=|{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}|}$

### 數量積的坐標計算公式

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=(x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle {\vec {a}}(x_{1},y_{1}),{\vec {b}}(x_{2},y_{2})}$都是非零向量，${\displaystyle \theta }$是它們的夾角大小，則根據數量積的定義和坐標表示有[5]
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}(x_{1},y_{1}),{\vec {b}}(x_{2},y_{2})}$都是非零向量，則它們彼此垂直等價於[5]
${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}=0}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\vec {AB}}\cdot {\vec {AB}}=(x_{B}-x_{A})(x_{B}-x_{A})+(y_{B}-y_{A})(y_{B}-y_{A})\\\Rightarrow |{\vec {AB}}||{\vec {AB}}|\cos 0=(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}\\\Rightarrow |{\vec {AB}}|^{2}=(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}\\\Rightarrow |{\vec {AB}}|={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}\end{array}}}$

2個向量的加減法 ${\displaystyle {\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(x_{a}\pm x_{b},y_{a}\pm y_{b})}$ ${\displaystyle {\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(x_{a}\pm x_{b},y_{a}\pm y_{b},z_{a}\pm z_{b})}$

2個向量的內積 ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}}$
2個向量的平行
（假設其中的比例式都有意義）
${\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x_{b}}{x_{a}}}={\frac {y_{b}}{y_{a}}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x_{b}}{x_{a}}}={\frac {y_{b}}{y_{a}}}={\frac {z_{b}}{z_{a}}}}$
2個向量的垂直 ${\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}=0}$ ${\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}=0}$
2個向量的夾角計算 ${\displaystyle \theta ={\frac {x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}}{{\sqrt {x_{a}^{2}+y_{a}^{2}}}{\sqrt {x_{b}^{2}+y_{b}^{2}}}}}}$ ${\displaystyle \theta ={\frac {x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}}{{\sqrt {x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}}{\sqrt {x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}}}}}}$

(1) 求${\displaystyle {\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}}$的值。
(2) 求當a為何值時，${\displaystyle {\vec {OA}}}$${\displaystyle {\vec {OB}}}$的夾角大小為${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$

## 模型

### 涉及三角形中線與五心的問題

(1) O為三角形ABC的外心${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad |OA|^{2}=|OB|^{2}=|OC|^{2}}$
(2) O為三角形ABC的重心${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad {\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}={\vec {0}}}$
(3) O為三角形ABC的垂心${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad {\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}={\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}={\vec {OC}}\cdot {\vec {OA}}}$
(4) O為三角形ABC的內心${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad a{\vec {OA}}+b{\vec {OB}}+c{\vec {OC}}={\vec {0}}}$
(5) O為三角形ABC的角A的旁心${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \quad a{\vec {OA}}=b{\vec {OB}}+c{\vec {OC}}}$

## 補充習題

• 在平面非正交坐標系中，向量數量積的坐標計算公式是否仍然成立？

## 參考資料

1. 人民教育出版社中學數學室. 第5章「平面向量」第1部分「向量及其運算」第5.6節「平面向量的數量積及運算律」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第1冊 (下) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 118–121. ISBN 7-107-17105-4 （中文（中國大陸））.
2. 中學數學實驗教材編寫組. 第3章「向量與向量運算」第2節「長度、角度與內積運算」第3.1小節「向量的內積」. 中學數學實驗教材. 第5冊 (上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 北京師範大學出版社. 1984: 238–241 （中文（中國大陸））. (統一書號：7243·230)
3. 劉初喜; 施洪亮; 蔡東山. 第7章「平面向量」第7.6節「線段的定比分點公式與向量的應用」. 華東師範大學第二附屬中學(實驗班用)·數學 高中上冊 2. 中國上海永福路123號: 上海教育出版社. 2015: 198–199. ISBN 978-7-5444-6195-5 （中文（中國大陸））.
4. 人民教育出版社中學數學室. 第5章「平面向量」第1部分「向量及其運算」第5.7節「平面向量數量積的坐標表示」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第1冊 (下) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 121–122. ISBN 7-107-17105-4 （中文（中國大陸））.
5. 章建躍 (本冊主編+責任編輯); 任子朝; 張勁松; 蔣佩錦. 第2章「平面向量」第2.4節「平面向量的數量積」第2.4.2小節「平面向量數量積的坐標表示、模、夾角」. (編) 劉紹學 (主編); 錢珮玲 (副主編). 高中數學 (A版) 必修4 1. 中國北京市沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 119–120. ISBN 7-107-17708-7 （中文（中國大陸））.