高中數學/向量與複數/向量的點積與夾角

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向量的數量積公式提供了一種不必依賴幾何直觀、完全代數化的推廣角度定義的方式，這允許我們可以在高維空間和無窮維空間（例如希爾伯特空間）中同樣定義出夾角的概念，從而減少我們對某些陌生的抽象空間的理解難度。

基礎知識

知識引入

在經典物理學中，物體在大小為F的恆定外力作用下，沿F所在的直線移動了距離S，則此力F所做的功（即傳遞的能量）等於FS；當物體沿與F呈 $θ$ 角的直線移動了距離S，則此力F所做的功（即傳遞的能量）等於 $F S \cdot \cos θ$ 。如果將力與位移都寫作向量，則其做功W的公式可以寫作 $W = | \vec{F} | | \vec{S} | \cdot \cos θ$ 。從幾何角度來看，功可以看作是力在位移方向上的投影大小與位移大小的乘積，也可以看作是位移在力方向上的投影大小與力的大小的乘積。反過來，如果已知所作的功，那麼力的大小、位移大小、夾角大小可以相互推算。實驗經驗告訴我們，這種計算對於二維平面和三維空間都是普遍適用的。我們不論在什麼樣的平直空間中，當知道功、力的大小、位移的大小後，都可以立即反推出夾角大小、投影長度。

物理學者為了便於研究做功與能量的計算，就發明了向量這一類同時具有方向和大小的量；與此同時，數學家為了便於求解某些涉及角度和投影的問題，也將其作為重要輔助工具引入數學。

數量積與投影

一般地，如果2個非零向量 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角為 $θ$ ，我們把由 $| \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$ 算出的純量結果叫做 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的數量乘積（scalar product）或純量積或點乘積（dot product）或內部乘積（簡稱內積，inner product）^[1]^[2]。
規定零向量與任何向量的數量積為0^[1]，非零向量夾角的範圍為 $[0, π]$ 。

根據以上定義，我們可以得知：

數量積是由2個向量得到1個純量的運算，其結果同時取決於2個向量的大小和它們的夾角。當夾角為銳角時，結果為正數；當夾角為直角時，結果為0；當夾角為鈍角時，結果為負數。
由於 $\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} | | \vec{a} | \cos 0 = | \vec{a} |^{2}$ ，即一個非零向量與自身的數量積等於其模的平方。

提示：我們沒有規定過零向量與非零向量的夾角，但是我們規定了零向量與任意向量的內積一定是0。

再介紹一些需要知道的記號規則：

$| \vec{a} |^{2}$ 常常被簡單地記為 ${\vec{a}}^{2}$ 。即有 $| \vec{A B} \cdot \vec{A B} | = {\vec{A B}}^{2} = | \vec{A B} |^{2} = | A B |^{2}$ 。
在不引起混淆時，有的資料會將向量 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角記為 $< \vec{a}, \vec{b} >$ ^[2]。

如果2個非零向量 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角為 $θ$ ，則數量 $| \vec{a} | \cos θ$ 稱為向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向（或所在直線）上的（正）投影（projection）。從向量投影的角度可以看出數量積的幾何意義為 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等於其中一個向量 $\vec{a}$ 的模 $| \vec{a} |$ 與另一個向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影值 $| \vec{b} | \cos θ$ 的乘積。^[2]

提示：(1)數量積和投影的計算結果都是純數值，不是向量。(2)有的教材會根據需要定義計算結果為向量的向量投影（vector projection）和計算結果為純量的純量投影（scalar projection），其中向量投影有專門的符號 $p r o j_{\vec{b}} \vec{a}$ 表示 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量。就這種劃分而言，高中所學的投影主要指其中的純量投影。

向量的數量積有以下的常用運算律^[1]：

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
$(λ \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot (λ \vec{a}) = λ (\vec{b} \cdot \vec{a})$
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} (λ \in ℝ)$

提示：向量的數量積是對稱性運算，即交換2個運算元的順序後結果不變。投影則不是對稱性運算，即向量甲在向量乙方向上的投影一般不等於向量乙在向量甲方向上的投影。

向量兼具幾何與代數特性，利用向量可以解決許多同時涉及距離和夾角的問題。^[3]

相關例題1：已知 $| \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 5$ ，對於下列幾種情況，分別求 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的數量積：

(1)

\vec{a} ∥ \vec{b}

；

(2)

\vec{a} ⊥ \vec{b}

；

(3)

\vec{a}

與

\vec{b}

的夾角大小為

3 0^{\circ}

。

相關例題2：已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是3個非零向量，則下列命題中正確的有( )。

A.

| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \Leftrightarrow \vec{a} ∥ \vec{b}

B.

\vec{a}

與

\vec{b}

反向

\Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

C.

\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow | \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |

D.

| \vec{a} | = | \vec{b} | \Leftrightarrow | \vec{a} \cdot \vec{c} | = | \vec{b} \cdot \vec{c} |

相關例題3：已知空間中4個點A、B、C、D滿足 $| \vec{A B} | = 3, | \vec{B C} | = 7, | \vec{C D} | = 11, | \vec{D A} | = 9$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的取值有多少個？

相關例題4：已知 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都是非零向量，並且 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ (7 \vec{a} - 5 \vec{b}), (\vec{a} - 4 \vec{b}) ⊥ (7 \vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角大小。

相關例題5：在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對角線BD和AC的中點，求證： $| A B |^{2} + | B C |^{2} + | C D |^{2} + | D A |^{2} = | A C |^{2} + | B D |^{2} + 4 | P Q |^{2}$ 。

相關例題6：在平行四邊形ABCD中，記 $\vec{a} = \vec{A B}, \vec{b} = \vec{B C}, \vec{c} = \vec{C D}, \vec{d} = \vec{D A}, \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{d} \cdot \vec{a}$ ，判斷四邊形ABCD的形狀。

相關例題7：已知非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夾角大小為 $6 0^{\circ}, (\vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ (7 \vec{a} - 5 \vec{b})$ ，求證：( $\vec{a} - 4 \vec{b}) ⊥ (7 \vec{a} - 2 \vec{b})$ 。

相關例題8：已知 $\vec{i}, \vec{j}$ 是相互垂直的單位向量， $\vec{a} + \vec{b} = 2 \vec{i} - 8 \vec{j}, \vec{a} - \vec{b} = - 8 \vec{i} + 16 \vec{j}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 。

相關例題9：已知在平行四邊形ABCD中，O是對角線交點， $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D = b}, | \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 2$ ，試用包含 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的代數式表示 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 。

相關例題10：已知 $| \vec{a} | = 6, | \vec{b} | = 10, | \vec{a} - \vec{b} | = 4 \sqrt{6}$ ，求 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角大小 $θ$ 的餘弦值。

相關例題11：已知 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, | \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 3, (3 \vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b}), λ \in ℝ$ ，求 $λ$ 的值。

相關例題12：已知 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是非共線向量， $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 2, (\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角大小 $θ$ 的餘弦值。

相關例題13：已知 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是非共線向量， $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 4$ 。求實數k取何值時，有 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ 成立？

相關例題14：在三角形ABC中，已知 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4, \vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 12$ ，求 $| \vec{A B} |$ 的值。

相關例題15：在三角形ABC中，已知 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}, \vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，判斷此三角形的形狀。

相關例題16：已知向量 $\vec{a} = (2, 4), \vec{b} = (1, 1), \vec{b} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b}), λ \in ℝ$ ，求 $λ$ 的值。

相關例題17：在四邊形ABCD中，已知 $| \vec{A B} | + | \vec{B D} | + | \vec{D C} | = 4, \vec{A B} \cdot \vec{B D} = \vec{B D} \cdot \vec{D C} = 0, | \vec{A B} | \cdot | \vec{B D} | + | \vec{B D} | \cdot | \vec{D C} | = 4$ ，求 $| (\vec{A B} + \vec{D C}) \cdot \vec{A C} |$ 的值。

相關例題18：在直角三角形ABC中，已知BC = a，長為2a的線段PQ以點A為中點。求 $\vec{P Q}$ 與 $\vec{B C}$ 的夾角大小 $θ$ 為何值時， $\vec{B P} \cdot \vec{C Q}$ 的值最大？並求出這個最大值。

相關例題19：在三角形ABC中，已知a、b、c分別是角A、B、C的對邊長， $| \vec{A B} |^{2} = \vec{A B} \cdot \vec{A C} + \vec{B A} \cdot \vec{B C} + \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 。判斷此三角形的形狀，並求 $\sin A + \sin B$ 的取值範圍。

相關例題20：設邊長為1的正三角形ABC的邊BC上有n等分點。這些分隔點，沿點B到點C的方向，依次為 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n - 1}$ 。若 $S_{n} = \vec{A B} \cdot \vec{A P_{1}} + \vec{A P_{1}} \cdot \vec{A P_{2}} + \dots + \vec{A P_{n - 1}} \cdot \vec{A C}$ ，求證： $S_{n} = \frac{11 n^{2} - 2}{6 n}$ 。

相關例題21：在三角形ABC中， $\vec{a} = \vec{A B}, \vec{b} = \vec{C A}, \vec{c} = \vec{B C}, (\vec{c} \cdot \vec{b}) : (\vec{b} \cdot \vec{a}) : (\vec{a} \cdot \vec{c}) = 1 : 2 : 3$ ，求三邊之比 $| \vec{a} | : | \vec{b} | : | \vec{c} |$ 的值。

相關例題22：已知 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}, (\vec{a} \cdot \vec{b}) : (\vec{b} \cdot \vec{c}) : (\vec{c} \cdot \vec{a}) = 1 : \sqrt{3} : (\sqrt{3} - 2), | \vec{a} | = 1$ ，求 $| \vec{b} |$ 和 $| \vec{c} |$ 的值。

相關例題23：若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 中每2個向量的夾角大小均為 $6 0^{\circ}, | \vec{a} | = 4, | \vec{b} | = 6, | \vec{c} | = 2$ ，求 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |$ 的值。

數量積的坐標計算公式

在平面直角坐標系中，向量的純量積有簡算公式，即將2個非零向量 $\vec{a} (x_{1}, y_{1}), \vec{b} (x_{2}, y_{2})$ 的對應分量相乘，再相加^[4]：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}) = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

設 $\vec{a} (x_{1}, y_{1}), \vec{b} (x_{2}, y_{2})$ 都是非零向量， $θ$ 是它們的夾角大小，則根據數量積的定義和坐標表示有^[5]：
$\cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$

設 $\vec{a} (x_{1}, y_{1}), \vec{b} (x_{2}, y_{2})$ 都是非零向量，則它們彼此垂直等價於^[5]：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} = 0$
由此可知，計算2個向量的數量積是否為零也可以用於判斷所在直線的垂直關係^[4]。

通過計算非零向量與自身的數量積，也可以得到向量長度的坐標計算公式^[4]：
$\begin{matrix} \vec{A B} \cdot \vec{A B} = (x_{B} - x_{A}) (x_{B} - x_{A}) + (y_{B} - y_{A}) (y_{B} - y_{A}) \\ \Rightarrow | \vec{A B} | | \vec{A B} | \cos 0 = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} \\ \Rightarrow | \vec{A B} |^{2} = (x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2} \\ \Rightarrow | \vec{A B} | = \sqrt{(x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2}} \end{matrix}$

向量運算的代數公式小結：

向量運算	2維公式	3維公式
2個向量的加減法	$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_{a} \pm x_{b}, y_{a} \pm y_{b})$	$\vec{a} \pm \vec{b} = (x_{a} \pm x_{b}, y_{a} \pm y_{b}, z_{a} \pm z_{b})$
單個向量的數乘	$k \vec{a} = (k x, k y)$	$k \vec{a} = (k x, k y, k z)$
單個向量的模	$\| \vec{a} \| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$	$\| \vec{a} \| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$
2個向量的內積	$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{a} x_{b} + y_{a} y_{b}$	$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{a} x_{b} + y_{a} y_{b} + z_{a} z_{b}$
2個向量的平行（假設其中的比例式都有意義）	$\vec{a} ∥ \vec{b} \Leftrightarrow \frac{x_{b}}{x_{a}} = \frac{y_{b}}{y_{a}}$	$\vec{a} ∥ \vec{b} \Leftrightarrow \frac{x_{b}}{x_{a}} = \frac{y_{b}}{y_{a}} = \frac{z_{b}}{z_{a}}$
2個向量的垂直	$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow x_{a} x_{b} + y_{a} y_{b} = 0$	$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow x_{a} x_{b} + y_{a} y_{b} + z_{a} z_{b} = 0$
2個向量的夾角計算	$θ = \frac{x_{a} x_{b} + y_{a} y_{b}}{\sqrt{x_{a}^{2} + y_{a}^{2}} \sqrt{x_{b}^{2} + y_{b}^{2}}}$	$θ = \frac{x_{a} x_{b} + y_{a} y_{b} + z_{a} z_{b}}{\sqrt{x_{a}^{2} + y_{a}^{2} + z_{a}^{2}} \sqrt{x_{b}^{2} + y_{b}^{2} + z_{b}^{2}}}$

相關例題1：已知 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (- 1, 4), \vec{c} = (5, 6)$ ，分別求 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 和 $\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ 的值。

相關例題2：已知2個非零向量滿足 $\vec{a} + \vec{b} = (2, - 8), \vec{a} - \vec{b} = (- 6, - 4)$ ，求 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角大小的餘弦值。

相關例題3：已知向量 $\vec{i}, \vec{j}$ 為相互垂直的單位向量， $m \in ℝ, \vec{a} = (m + 1) \vec{i} - 3 \vec{j}, \vec{b} = \vec{i} + (m - 1) \vec{j}, (\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求m的值。

相關例題4：已知O為平面直角坐標系原點，向量 $\vec{O A} = (1, 0), \vec{O B} = (1, 1)$ ，動點P (x, y)滿足 $0 \leq \vec{O P} \cdot \vec{O A} \leq 1, 0 \leq \vec{O P} \cdot \vec{O B} \leq 2$ ，求另一個與之相關的點Q (x+y, y)分布的區域的面積。

相關例題5：在平面直角坐標系中，已知兩點 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ， $x_{1}, x_{2}$ 是一元二次方程 $2 x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4 = 0$ 的2個不相等的實數根，且A、B兩點都在直線y = -x + a上。

(1) 求

\vec{O A} \cdot \vec{O B}

的值。

(2) 求當a為何值時，

\vec{O A}

與

\vec{O B}

的夾角大小為

\frac{π}{3}

。

相關例題6：已知 $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}$ 是向量構成的集合 $A = {\vec{v} = (x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 1}$ 中的任意2個向量，且 $α, β \in ℝ$ 。求證：向量 $α \vec{v_{1}} + β \vec{v_{2}}$ 的大小不超過 $α + β$ 。

相關例題7：在平面直角坐標系xOy中，已知 $\vec{O A} = (2, 0), \vec{O B} = (1, \sqrt{3})$ 。將 $\vec{B A}$ 繞著B點沿逆時針方向旋轉 $6 0^{\circ}$ ，且將模伸長到 $| \vec{B A} |$ 的2倍，得到新向量 $\vec{B C}$ 。求四邊形AOBC的面積S。

相關例題8：已知平面上3個向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 均為單位向量，且兩兩之間的夾角大小均為 $12 0^{\circ}$ ， $| k a + b + c | > 1, k \in ℝ$ 。求k的取值範圍。

相關例題9：使用向量工具，求證兩角差的餘弦公式： $\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$ 。

相關例題10：使用平面向量工具，求證2元的柯西不等式： $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) \geq (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2}$ 。

相關例題11：是否存在4個兩兩不共線的平面向量，使得其中任意2個向量之和均與其餘2個向量之和垂直？

相關例題12：已知向量 $\vec{O P_{1}}, \vec{O P_{2}}, \vec{O P_{3}}$ 滿足條件 $\vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} + \vec{O P_{3}} = 0, | \vec{O P_{1}} | = | \vec{O P_{2}} | = | \vec{O P_{3}} | = 1$ ，求證：三角形 $P_{1} P_{2} P_{3}$ 是正三角形。

相關例題13：在三角形ABC中，已知 $\frac{\vec{A B} \cdot \vec{B C}}{3} = \frac{\vec{B C} \cdot \vec{C A}}{2} = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{C A}}{1}$ ，求 $\tan A$ 的值。

模型

涉及三角形中線與五心的問題

三角形五心在向量形式下的充要條件：

設O為三角形ABC所在平面上的一點，角A、B、C所對邊的長度分別為a、b、c，則^[3]：

(1) O為三角形ABC的外心 $\Leftrightarrow | O A |^{2} = | O B |^{2} = | O C |^{2}$ ；

(2) O為三角形ABC的重心 $\Leftrightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ；

(3) O為三角形ABC的垂心 $\Leftrightarrow \vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ；

(4) O為三角形ABC的內心 $\Leftrightarrow a \vec{O A} + b \vec{O B} + c \vec{O C} = \vec{0}$ ；

(5) O為三角形ABC的角A的旁心 $\Leftrightarrow a \vec{O A} = b \vec{O B} + c \vec{O C}$ ；

這些規律中最常用的是重心的條件。

相關例題1：已知AD是三角形ABC的中線，求證： $A D^{2} = \frac{1}{2} (| A B |^{2} + | A C |^{2}) - (\frac{| B C |}{2})^{2}$ 。

相關例題2：對於任意給定的三角形ABC，求證：點G是此三角形重心的充要條件是 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ 。

相關例題3：在三角形ABC中，點F是BC的中點，直線l分別交AB、AF、AC於點D、G、E。如果 $\vec{A D} = λ \vec{A B}, \vec{A E} = μ \vec{A C}, λ \in ℝ, μ \in ℝ$ ，求證：G為三角形ABC重心的充分必要條件是 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} = 3$ 。

相關例題4：設三角形ABC的外心為O，垂心為H，重心為G，求證：O、G、H為共線的3個點，且|OG| : |GH| = 1 : 2。

相關例題5：已知點O是平面上的一個固定點，A、B、C是此平面上不共線的3個點。此平面上有動點P滿足條件 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) (λ \in [0, + \infty))$ 。則點P的軌跡一定經過三角形ABC的( )心。

相關例題6：已知P為三角形ABC內一點， $3 \vec{P A} + 4 \vec{P B} + 5 \vec{P C} = 0$ ，求三角形PAB、三角形PBC、三角形PCA的面積之比。

補充習題

在平面非正交坐標系中，向量數量積的坐標計算公式是否仍然成立？

參見

參考資料

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↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 中學數學實驗教材編寫組. 第3章「向量與向量運算」第2節「長度、角度與內積運算」第3.1小節「向量的內積」. 中學數學實驗教材. 第5冊 (上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 北京師範大學出版社. 1984: 238–241 （中文（中國大陸））. (統一書號：7243·230)
↑ ^3.0 ^3.1 劉初喜; 施洪亮; 蔡東山. 第7章「平面向量」第7.6節「線段的定比分點公式與向量的應用」. 華東師範大學第二附屬中學(實驗班用)·數學 高中上冊 2. 中國上海永福路123號: 上海教育出版社. 2015: 198–199. ISBN 978-7-5444-6195-5 （中文（中國大陸））.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 人民教育出版社中學數學室. 第5章「平面向量」第1部分「向量及其運算」第5.7節「平面向量數量積的坐標表示」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第1冊 (下) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 121–122. ISBN 7-107-17105-4 （中文（中國大陸））.
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外部連結

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[项武义实验教材_1984_内积与投影-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 中學數學實驗教材編寫組. 第3章「向量與向量運算」第2節「長度、角度與內積運算」第3.1小節「向量的內積」. 中學數學實驗教材. 第5冊 (上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 北京師範大學出版社. 1984: 238–241 （中文（中國大陸））. (統一書號：7243·230)

[华师二中_数学_高中上册_定比分点-3] 3.0 ^3.1 劉初喜; 施洪亮; 蔡東山. 第7章「平面向量」第7.6節「線段的定比分點公式與向量的應用」. 華東師範大學第二附屬中學(實驗班用)·數學 高中上冊 2. 中國上海永福路123號: 上海教育出版社. 2015: 198–199. ISBN 978-7-5444-6195-5 （中文（中國大陸））.

[人教版数学_2003_数量积的坐标表示-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 人民教育出版社中學數學室. 第5章「平面向量」第1部分「向量及其運算」第5.7節「平面向量數量積的坐標表示」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第1冊 (下) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 121–122. ISBN 7-107-17105-4 （中文（中國大陸））.

[人教版_新课标_2004_向量坐标表示-5] 5.0 ^5.1 章建躍 (本冊主編+責任編輯); 任子朝; 張勁松; 蔣佩錦. 第2章「平面向量」第2.4節「平面向量的數量積」第2.4.2小節「平面向量數量積的坐標表示、模、夾角」. (編) 劉紹學 (主編); 錢珮玲 (副主編). 高中數學 (A版) 必修4 1. 中國北京市沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 119–120. ISBN 7-107-17708-7 （中文（中國大陸））.

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