高中数学/目录/微积分初步

主干知识：

• 极限
• 一阶导数的概念与求导法则
• 导数与切线方程
• 导数与单调性和极值的关系
• 利用导数证明不等式
• 定积分的定义与直接计算（定积分的定义、圆与椭圆的面积公式、积分运算的线性、定积分的简单估计、柯西不等式的积分形式）
• 不定积分与微积分基本定理简介（球的表面积与体积公式的关系、微积分在数列求和中的应用）

拓展内容：

• 参数方程的求导与曲率计算
• 二阶导数与函数的凹凸性（二阶导数的概念（加速度）、函数的凹凸性与Jensen不等式、拐点的应用问题）
• 无穷级数简介与泰勒展开公式

（无穷级数及其收敛性、调和级数的案例、收敛域、泰勒公式、泰勒公式的部分展开、三角函数的近似计算）

• 定积分的近似计算（辛普森数值积分公式）
• 微元法与换元积分公式简介
• 一阶线性微分方程（微分方程的概念、一阶线性微分方程的求解、一阶线性微分方程的应用）
• 二阶线性微分方程与叠加原理简介（二阶线性微分方程的定义与求解、谐振子系统、叠加原理简介、二阶线性微分方程组与三体问题简介）
• 多元函数及其导数简介（偏导数及其在线性回归模型中的应用、求导顺序、鞍点与驻点、积分号内取导数）
• 向量值函数与矩阵的导数（向量值函数与矩阵函数、向量值函数的导数及其矩阵形式、矩阵导数及其张量形式、复合矩阵的导数）
• 有关无穷的某些常见争论（0.99999、无穷个无穷小、稠密性、格兰迪级数与黎曼级数重排定理、分数维度）
• 一元初等微积分的物理学应用补充（变力做功、费马原理与折射公式、最速降线与悬链线、狭义相对论的力学公式推导、一维微小振动的谐振子近似、一维情形的诺特定理、傅里叶变换与函数的正交分解简介）
• 定积分的极限与变分原理简介