高中數學/目錄/微積分初步

主幹知識：

• 極限
• 一階導數的概念與求導法則
• 導數與切線方程
• 導數與單調性和極值的關係
• 利用導數證明不等式
• 定積分的定義與直接計算（定積分的定義、圓與橢圓的面積公式、積分運算的線性、定積分的簡單估計、柯西不等式的積分形式）
• 不定積分與微積分基本定理簡介（球的表面積與體積公式的關係、微積分在數列求和中的應用）

拓展內容：

• 參數方程的求導與曲率計算
• 二階導數與函數的凹凸性（二階導數的概念（加速度）、函數的凹凸性與Jensen不等式、拐點的應用問題）
• 無窮級數簡介與泰勒展開公式

（無窮級數及其收斂性、調和級數的案例、收斂域、泰勒公式、泰勒公式的部分展開、三角函數的近似計算）

• 定積分的近似計算（辛普森數值積分公式）
• 微元法與換元積分公式簡介
• 一階線性微分方程（微分方程的概念、一階線性微分方程的求解、一階線性微分方程的應用）
• 二階線性微分方程與疊加原理簡介（二階線性微分方程的定義與求解、諧振子系統、疊加原理簡介、二階線性微分方程組與三體問題簡介）
• 多元函數及其導數簡介（偏導數及其在線性回歸模型中的應用、求導順序、鞍點與駐點、積分號內取導數）
• 向量值函數與矩陣的導數（向量值函數與矩陣函數、向量值函數的導數及其矩陣形式、矩陣導數及其張量形式、複合矩陣的導數）
• 有關無窮的某些常見爭論（0.99999、無窮個無窮小、稠密性、格蘭迪級數與黎曼級數重排定理、分數維度）
• 一元初等微積分的物理學應用補充（變力做功、費馬原理與折射公式、最速降線與懸鏈線、狹義相對論的力學公式推導、一維微小振動的諧振子近似、一維情形的諾特定理、傅里葉變換與函數的正交分解簡介）
• 定積分的極限與變分原理簡介