高中数学/预备知识/几何

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阅读指南[编辑]

Crystal Clear app gnome 学习高中数学的读者应该具备一定程度的初中/国中数学知识基础,同时高中可能会需要用到少量在先前阶段没有作为重点学习过的知识。本节例举了一些学习高中数学必须掌握的几何预备知识,并刻意撇去了一部分在高中阶段几乎不怎么会用到的初中/国中知识。读者可以速览本节内容,以便查漏补缺,减少知识死角。

先重点说明一下初、高中几何知识板块的明显差异。就学习内容而言,初中几何主要围绕平面几何及其证明,这属于《几何原本》前几卷的范畴;高中几何则跳跃到空间立体几何的学习,既有《几何原本》后几卷中的经典理论,也有基于解析几何理论的现代处理,且更注重突出解析几何解法的优势。就思维层面而言,初中的几何学习重点是逻辑训练和证明技巧,其中复杂的几何证明技巧几乎不再延续到高中,对公理化方法和命题逻辑的推崇则会贯穿高中及后续大学数学课程,成为数学逻辑严密性的基石。

平面几何的逻辑魅力和影响力自不必说,《几何原本》更是还原论在几何学中的一次重大胜利。无数人由此看到,只需要借助少量的假设和规定,配上严密的逻辑体系,即可支撑起一个庞大的理论体系,论证数不尽的世间奥秘。不过,由于数学本身也是一个不断发展变化的学科,像《几何原本》这样内容偏传统的著作终究会远离时代前沿的需要,许多结论的论证方法也会因为新工具的出现得到极大简化。解析几何、函数理论与微积分诞生后,它们的用途明显超过经典的平面几何,因此在高中阶段开始逐渐接触新的工具是势在必行的。不过无论时代如何发展,数学的逻辑魅力永恒不变,因此仍会在初中保留一部分平面几何作为思维训练,也是为一些常用几何结论的由来理由作一些交代。但是到了高中阶段就只需要了解已学过的一些几何常用结论的正确性就够了,不必再面面俱到。

基础知识[编辑]

我们在这里给出对高中有用的初中算术与代数基础知识脉络,并以粗体显示其中重要性较大的知识点。

图形常识[编辑]

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有关“图形常识”,读者应该掌握的基础知识:

  • 角平分线、线段垂直平分线、三角形中线、中位线的概念
  • 多边形内角和与外角和的计算公式
  • 三角形全等的几种判断条件
  • 三角形的重心、垂心、内心的概念
  • 等腰三角形与等边三角形的性质
  • 平行四边形、菱形、正方形的性质异同点
  • 圆的切线、弦长、圆心角的相关性质
  • 三角形、长方形、梯形、圆形的面积计算
  • 长方体、柱体的体积计算
  • 轴对称、中心对称、三视图的简单概念

我们挑选其中的部分重点知识作简要复习。

三角形边、角、线、比例大小关系常识:

  • 三角形中的任意两边长之和大于第三边,任意两边长之差大于第三边。(这条性质是三角不等式的源头,也与绝对值不等式存在联系。)
  • 三角形的内角和为180度。
  • 三角形的重心把每条中线都分割成长度为2:1的两部分。
  • 三角形的中位线平行且等于底边的一半。
  • 大边对大角定理。

等腰三角形和等边三角形的基本性质:

  • 等腰三角形的中线与底边上的高线重合。
  • 等腰三角形等腰、等底角。
  • 等腰三角形底边中点到两腰的距离相等。
  • 等边三角形三线合一。

圆的基础知识:

  • 平面上到定点的距离相等的所有点构成一个圆。
  • 半圆(直径)所对的圆周角是直角;反过来,90°的圆周角所对的弦是直径。(这是圆周角定理的重要推论。)
  • 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

勾股定理[编辑]

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有关“勾股定理”,读者应该掌握的基础知识:

  • 勾股定理及其逆定理
  • 常见的几组勾股数

图形的相似与比例[编辑]

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有关“相似比”,读者应该掌握的基础知识:

  • 平行线所截得的线段长度成比例
  • 相似三角形的性质与判定
  • 一般相似图形的相似比与量纲变化规律

有关“三角比与解三角形”,读者应该掌握的基础知识:

  • 正弦、余弦、正切的概念
  • 3个特殊角度的三角函数值表
  • 毕氏三角学恒等式
  • 简单的解三角形问题

解三角形及三角比问题常用推论:

  • 在直角三角形中,30度角所对的边的长度是斜边长度的一半,即

有关“黄金比例”,读者应该掌握的基础知识:

  • 了解黄金分割的定义
  • 了解黄金分割数满足的关系式

求解与论证方法[编辑]

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有关“论证方法”,读者应该掌握的基础知识:

  • 了解辅助线的作用
  • 掌握反证法
  • 掌握割补法与等面积法

有关“设未知数求解几何量”,读者应该掌握的基础知识:

  • 列方程或方程组求解未知边或未知角的大小
  • 利用设而不求的思想消去不需要实际用到的中间量

常用结论与常见模型[编辑]

勾股定理推论[编辑]

平面毕氏定理及其逆定理:一个三角形是直角三角形的等价条件为存在两边的平方和等于第三边的平方。

毕氏定理包含以下常见推论:

  • 直角三角形的三条边中,斜边最长。(另一种思路是作直角三角形的外切圆,然后论证半圆对应的弦是所有圆弧对应的弦中最长的。)
  • 平面上两点间的距离公式:平面上2个点的距离为
  • 空间中长度的勾股定理:设长方体的长、宽、高分别是a、b、c,则其斜对角线长为。(n维空间欧几里得距离的定义也是由此类比而来。)
  • 方向余弦关系式:设过原点的空间直线与3个空间坐标轴的夹角分别为,那么一定有关系式成立。(我们会在空间向量章节论证这个关系式。)
  • 空间中面积的勾股定理:直角四面体的3个直角三角形侧面的面积之平方和,等于其非直角三角形的底面积之平方。(我们会在高中的立体几何知识中学习到它。)

三角形的一些基本公式[编辑]

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  • 三角形重心坐标公式:
  • 直角三角形的内切圆半径公式:,其中a、b是直角边长,c是斜边长。
  • 一般三角形​的内切圆半径公式:,其中S是三角形面积,a、b、c是三角形三边。(由内切圆圆心向3个切点各引出一条线段,然后利用等面积法易证。)

反过来,如果已知三角形的三边长a、b、c和内切圆的半径r,也可以利用上述关系式快速求出三角形面积,即

三角形面积公式补充[编辑]

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古希腊数学家希罗(古希腊语:Ἥρων,英語:Hero of Alexandria,10-70)曾给出下列的希罗公式(也译为海伦公式):已知三角形三边长a、b、c,设,则三角形的面积A为:

希罗公式的证法较多。但为结合高中数学的知识,我们之后会在余弦定理向量等章节中依次使用不同的方法证明这个公式。

需要留意的是,当已知的三角形边长中带有根号(多数情况是单重根号)时,使用希罗公式就会非常不方便,这时需要考虑使用其它能只根据各边长平方(利用平方运算去除根号)来计算面积的替代公式。

中国南宋数学家秦九韶(1208年-1261年)曾不加证明地直接给出下列三斜求积公式:

此外,已知三角形的三边长分别为a、b、c,则其面积A还可以按下列公式计算:

  1. ,通过解方程确定其中的参数r、s、t的值。
  2. 则有:

上式主要来源于勾股定理在立体几何中对面积关系的推广(参见面积的三维勾股定理)。

如果已知角A、B的对应边长a、b和角C的正弦值,可以利用几何关系得到。将a看作底边、看作高,或是将b看作底边、看作高,都可以得到这个公式。我们将在介绍正弦定理与余弦定理的章节中大量应用这个公式求三角形的面积。

补充习题[编辑]

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参见[编辑]

参考资料[编辑]