高中數學/預備知識/幾何

閱讀指南[編輯]

學習高中數學的讀者應該具備一定程度的初中/國中數學知識基礎，同時高中可能會需要用到少量在先前階段沒有作為重點學習過的知識。本節例舉了一些學習高中數學必須掌握的幾何預備知識，並刻意撇去了一部分在高中階段幾乎不怎麼會用到的初中/國中知識。讀者可以速覽本節內容，以便查漏補缺，減少知識死角。

先重點說明一下初、高中幾何知識板塊的明顯差異。就學習內容而言，初中幾何主要圍繞平面幾何及其證明，這屬於《幾何原本》前幾卷的範疇；高中幾何則跳躍到空間立體幾何的學習，既有《幾何原本》後幾卷中的經典理論，也有基於解析幾何理論的現代處理，且更注重突出解析幾何解法的優勢。就思維層面而言，初中的幾何學習重點是邏輯訓練和證明技巧，其中複雜的幾何證明技巧幾乎不再延續到高中，對公理化方法和命題邏輯的推崇則會貫穿高中及後續大學數學課程，成為數學邏輯嚴密性的基石。

平面幾何的邏輯魅力和影響力自不必說，《幾何原本》更是還原論在幾何學中的一次重大勝利。無數人由此看到，只需要藉助少量的假設和規定，配上嚴密的邏輯體系，即可支撐起一個龐大的理論體系，論證數不盡的世間奧秘。不過，由於數學本身也是一個不斷發展變化的學科，像《幾何原本》這樣內容偏傳統的著作終究會遠離時代前沿的需要，許多結論的論證方法也會因為新工具的出現得到極大簡化。解析幾何、函數理論與微積分誕生後，它們的用途明顯超過經典的平面幾何，因此在高中階段開始逐漸接觸新的工具是勢在必行的。不過無論時代如何發展，數學的邏輯魅力永恆不變，因此仍會在初中保留一部分平面幾何作為思維訓練，也是為一些常用幾何結論的由來理由作一些交代。但是到了高中階段就只需要了解已學過的一些幾何常用結論的正確性就夠了，不必再面面俱到。

基礎知識[編輯]

我們在這裡給出對高中有用的初中算術與代數基礎知識脈絡，並以粗體顯示其中重要性較大的知識點。

圖形常識[編輯]

維基百科中的相關條目：

幾何中心

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三視圖

有關「圖形常識」，讀者應該掌握的基礎知識：

角平分線、線段垂直平分線、三角形中線、中位線的概念
多邊形內角和與外角和的計算公式
三角形全等的幾種判斷條件
三角形的重心、垂心、內心的概念
等腰三角形與等邊三角形的性質
平行四邊形、菱形、正方形的性質異同點
圓的切線、弦長、圓心角的相關性質
三角形、長方形、梯形、圓形的面積計算
長方體、柱體的體積計算
軸對稱、中心對稱、三視圖的簡單概念

我們挑選其中的部分重點知識作簡要複習。

三角形邊、角、線、比例大小關係常識：

三角形中的任意兩邊長之和大於第三邊，任意兩邊長之差大於第三邊。（這條性質是三角不等式的源頭，也與絕對值不等式存在聯繫。）
三角形的內角和為180度。
三角形的重心把每條中線都分割成長度為2:1的兩部分。
三角形的中位線平行且等於底邊的一半。
大邊對大角定理。

等腰三角形和等邊三角形的基本性質：

等腰三角形的中線與底邊上的高線重合。
等腰三角形等腰、等底角。
等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等。
等邊三角形三線合一。

圓的基礎知識：

平面上到定點的距離相等的所有點構成一個圓。
半圓（直徑）所對的圓周角是直角；反過來，90°的圓周角所對的弦是直徑。（這是圓周角定理的重要推論。）
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧。

勾股定理[編輯]

維基百科中的相關條目：

勾股定理

維基百科中的相關條目：

勾股數

有關「勾股定理」，讀者應該掌握的基礎知識：

勾股定理及其逆定理
常見的幾組勾股數

圖形的相似與比例[編輯]

維基百科中的相關條目：

相似 (幾何)

維基百科中的相關條目：

三角學

有關「相似比」，讀者應該掌握的基礎知識：

平行線所截得的線段長度成比例
相似三角形的性質與判定
一般相似圖形的相似比與量綱變化規律

有關「三角比與解三角形」，讀者應該掌握的基礎知識：

正弦、餘弦、正切的概念
3個特殊角度的三角函數值表
畢氏三角學恆等式
簡單的解三角形問題

解三角形及三角比問題常用推論：

在直角三角形中，30度角所對的邊的長度是斜邊長度的一半，即 $\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}$
$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$
$\tan A={\frac {\sin A}{\cos A}}$

有關「黃金比例」，讀者應該掌握的基礎知識：

了解黃金分割的定義
了解黃金分割數滿足的關係式

求解與論證方法[編輯]

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反證法

有關「論證方法」，讀者應該掌握的基礎知識：

了解輔助線的作用
掌握反證法
掌握割補法與等面積法

有關「設未知數求解幾何量」，讀者應該掌握的基礎知識：

列方程或方程組求解未知邊或未知角的大小
利用設而不求的思想消去不需要實際用到的中間量

常用結論與常見模型[編輯]

勾股定理推論[編輯]

平面畢氏定理及其逆定理：一個三角形是直角三角形的等價條件為存在兩邊的平方和等於第三邊的平方。

畢氏定理包含以下常見推論：

直角三角形的三條邊中，斜邊最長。（另一種思路是作直角三角形的外切圓，然後論證半圓對應的弦是所有圓弧對應的弦中最長的。）
平面上兩點間的距離公式：平面上2個點 $P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$ 的距離為 ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$ 。
空間中長度的勾股定理：設長方體的長、寬、高分別是a、b、c，則其斜對角線長為 ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ 。（n維空間中歐幾里得距離的定義也是由此類比而來。）
方向餘弦關係式：設過原點的空間直線與3個空間坐標軸的夾角分別為 $\alpha ,\beta ,\gamma$ ，那麼一定有關係式 $\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1$ 成立。（我們會在空間向量章節論證這個關係式。）
空間中面積的勾股定理：直角四面體的3個直角三角形側面的面積之平方和，等於其非直角三角形的底面積之平方。（我們會在高中的立體幾何知識中學習到它。）

三角形的一些基本公式[編輯]

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重心坐標

三角形重心坐標公式： $x={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},y={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}$
直角三角形的內切圓半徑公式： $r={\frac {a+b-c}{2}}$ ，其中a、b是直角邊長，c是斜邊長。
一般三角形的內切圓半徑公式： $r={\frac {2S}{a+b+c}}$ ，其中S是三角形面積，a、b、c是三角形三邊。（由內切圓圓心向3個切點各引出一條線段，然後利用等面積法易證。）

反過來，如果已知三角形的三邊長a、b、c和內切圓的半徑r，也可以利用上述關係式快速求出三角形面積，即 $S={\frac {(a+b+c)r}{2}}$ 。

三角形面積公式補充[編輯]

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希羅公式

古希臘數學家希羅（古希臘語：Ἥρων，英語：Hero of Alexandria，10－70）曾給出下列的希羅公式（也譯為海倫公式）：已知三角形三邊長a、b、c，設 $p={\frac {a+b+c}{2}}$ ，則三角形的面積A為：

A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}

。

希羅公式的證法較多。但為結合高中數學的知識，我們之後會在餘弦定理、向量等章節中依次使用不同的方法證明這個公式。

需要留意的是，當已知的三角形邊長中帶有根號（多數情況是單重根號）時，使用希羅公式就會非常不方便，這時需要考慮使用其它能只根據各邊長平方（利用平方運算去除根號）來計算面積的替代公式。

中國南宋數學家秦九韶（1208年－1261年）曾不加證明地直接給出下列三斜求積公式：

A={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}\quad (a\geq b\geq c)

此外，已知三角形的三邊長分別為a、b、c，則其面積A還可以按下列公式計算：

取 $\left\{{\begin{array}{l}r+s=a^{2}\\s+t=b^{2}\\t+r=c^{2}\end{array}}\right.$ ，通過解方程確定其中的參數r、s、t的值。
則有： $A={\frac {\sqrt {rs+st+tr}}{2}}$

上式主要來源於勾股定理在立體幾何中對面積關係的推廣（參見面積的三維勾股定理）。

如果已知角A、B的對應邊長a、b和角C的正弦值，可以利用幾何關係得到 $S={\frac {ab\sin C}{2}}$ 。將a看作底邊、 $b\sin C$ 看作高，或是將b看作底邊、 $a\sin C$ 看作高，都可以得到這個公式。我們將在介紹正弦定理與餘弦定理的章節中大量應用這個公式求三角形的面積。

補充習題[編輯]

參見[編輯]

參考資料[編輯]