黄金质数

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  • 黄金质数是{0, 1, 4} mod 5的质数:5、11、19、29、31、41、59、61、71、79、89、101、109……(Primes congruent to {0, 1, 4} mod 5、Primes of the form a2±ab-b2、Primes of the form a2±4ab-b2、Primes of the form a2±3ab+b2)(OEIS中的数列A038872)(OEIS中的数列A141158
  • 黄金质数名称的由来:黄金质数是与黄金分割斐波那契数列相关的质数,并与毕达哥拉斯质数有联系。
在斐波那契数列中,对连续的3项fn、fn+1、fn+2
我们有
fn+fn+1=fn+2…………………………………………………①
并且
|fnfn+2-fn+12|=1……………………………………………②
由①和②得
|fn2+fnfn+1-fn+12|=1………………………………………③
对于任意两个前后排列的数fn、fn+1,若能使③成立,则必是斐波那契数列中的两个相邻排列的数
③式右边的数就是斐波那契数列的特征数:1
  • 对于不是斐波那契数列中的两个相邻排列的数fn、fn+1,则|fn2+fnfn+1-fn+12|≠1
例:对于,fn=1,fn+1=3,|fn2+fnfn+1-fn+12|=|1+3-9|=5
此两数来自于卢卡斯数:2、1、3、4、7、11、18、29……,显然符合|fn2+fnfn+1-fn+12|=5的两个前后排列的数都来自这个数列,这个数列的特征数就是:5
类似的数列还有很多,如数列3、2、5、7、12、19、31……和数列3、1、4、5、9、14、23……的特征数都是11
  • 进行比较,我们发现特征数1(最小)的斐波那契数列的前后两项的比值是最快迫近黄金比例的,而特征数较大的数列的前后两项比值迫近黄金比例较慢,因此,这个特征数就被我们成为黄金特征。
  • 黄金特征中的质数,符合 x2+xy-y2
同时,我们发现,黄金特征中的质数是符合{0, 1, 4} mod 5的所有质数,而黄金比例的作法又离不开5这个数
所以,黄金特征中的质数,被称为黄金质数,是非常贴切的。
  • 黄金质数有许多种等义表达方式,如Primes congruent to {0, 1, 4} mod 5(OEIS中的数列A038872)、Primes of the form a2±4ab-b2(OEIS中的数列A141158)、Primes of the form a2±ab-b2、Primes of the form a2±3ab+b2等等
从后面几种表达方式看,他们与毕达哥拉斯质数有关系,同属于这样的素数类集合:ma2±nb2±kab
以下的素数集合都属于:平方和素数集合
  1. 毕达哥拉斯素数(Pythagorean prime)(Primes congruent to 1 mod 4):5、13、17、29、37、41、53、61、73、89……(OEIS中的数列A002144)
  2. 勾股质数(Primes congruent to {1,7} mod 8):7、17、23、31、41、47、71、73、79、89、97、103、113、127……(OEIS中的数列A001132)
  3. 圭臬质数(在毕达哥拉斯数中,任一直角边的2倍与斜边的差中的质数:Primes congruent to {1, 2,3,11} mod 12):2、3、11、13、23、37、47、59、61、71、73、83、97、107、109、131、157、167、179……(OEIS中的数列A038874)
  4. 黄金质数(Primes congruent to {0,1,4} mod 5):5、11、19、29、31、41、59、61、71、79、89、101、109……(OEIS中的数列A038872)(OEIS中的数列A141158)
  5. 钻石质数(Primes congruent to {1,3} mod 6):3、7、13、19、31、37、43、61、67、73、79、97、103、109、127……(OEIS中的数列A007645)
  6. 既是钻石质数又是毕达哥拉斯质数的质数都能表示为形如a*a+b*b±4*a*b的钻戒质数(Primes congruent to 1 mod 12):13、37、61、73、97、109……(OEIS中的数列A068228)(OEIS中的数列A141122)
  7. 另一个钻石质数的子集能表示为形如a*a+b*b±5*a*b的钻镯质数(Primes of the form x^2±3*x*y-3*y^2 (as well as of the form x^2±5*x*y+y^2)):7、37、43、67、79、109、127、151……(OEIS中的数列A139492)(OEIS中的数列A141159)
  8. 既是勾股质数又是毕达哥拉斯质数的质数都能表示为形如a*a+b*b±6*a*b的魔幻质数(Primes congruent to 1 mod 8):17、41、73、89、97、113……(OEIS中的数列A007519)(OEIS中的数列A141174)
  9. 既是钻石质数又是黄金质数的质数都能表示为形如a*a+b*b±7*a*b的钻链质数(Primes of the form x^2+5*x*y-5*y^2 (as well as of the form x^2+7*x*y+y^2)):19、31、61、79、109、139……(OEIS中的数列A033212)(OEIS中的数列A141184)
  10. 毕达哥拉斯质数中的黄金质数(Primes of form x^2+5*y^2)({1,5,9} mod 20):5、29、41、61、89、101、109、149、181、229、241……(OEIS中的数列A033205)
  11. 同时是毕达哥拉斯质数、钻石质数和黄金质数的质数都能表示为形如a*a+b*b±8*a*b的皇冠质数:61、109、181、229、241……(OEIS中的数列A107152)(OEIS中的数列A141301)

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