黃金質數

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  • 黃金質數是{0, 1, 4} mod 5的質數:5、11、19、29、31、41、59、61、71、79、89、101、109……(Primes congruent to {0, 1, 4} mod 5、Primes of the form a2±ab-b2、Primes of the form a2±4ab-b2、Primes of the form a2±3ab+b2)(OEIS中的數列A038872)(OEIS中的數列A141158
  • 黃金質數名稱的由來:黃金質數是與黃金分割斐波那契數列相關的質數,並與畢達哥拉斯質數有聯繫。
在斐波那契數列中,對連續的3項fn、fn+1、fn+2
我們有
fn+fn+1=fn+2…………………………………………………①
並且
|fnfn+2-fn+12|=1……………………………………………②
由①和②得
|fn2+fnfn+1-fn+12|=1………………………………………③
對於任意兩個前後排列的數fn、fn+1,若能使③成立,則必是斐波那契數列中的兩個相鄰排列的數
③式右邊的數就是斐波那契數列的特徵數:1
  • 對於不是斐波那契數列中的兩個相鄰排列的數fn、fn+1,則|fn2+fnfn+1-fn+12|≠1
例:對於,fn=1,fn+1=3,|fn2+fnfn+1-fn+12|=|1+3-9|=5
此兩數來自於盧卡斯數:2、1、3、4、7、11、18、29……,顯然符合|fn2+fnfn+1-fn+12|=5的兩個前後排列的數都來自這個數列,這個數列的特徵數就是:5
類似的數列還有很多,如數列3、2、5、7、12、19、31……和數列3、1、4、5、9、14、23……的特徵數都是11
  • 進行比較,我們發現特徵數1(最小)的斐波那契數列的前後兩項的比值是最快迫近黃金比例的,而特徵數較大的數列的前後兩項比值迫近黃金比例較慢,因此,這個特徵數就被我們成為黃金特徵。
  • 黃金特徵中的質數,符合 x2+xy-y2
同時,我們發現,黃金特徵中的質數是符合{0, 1, 4} mod 5的所有質數,而黃金比例的作法又離不開5這個數
所以,黃金特徵中的質數,被稱為黃金質數,是非常貼切的。
  • 黃金質數有許多種等義表達方式,如Primes congruent to {0, 1, 4} mod 5(OEIS中的數列A038872)、Primes of the form a2±4ab-b2(OEIS中的數列A141158)、Primes of the form a2±ab-b2、Primes of the form a2±3ab+b2等等
從後面幾種表達方式看,他們與畢達哥拉斯質數有關係,同屬於這樣的質數類集合:ma2±nb2±kab
以下的質數集合都屬於:平方和質數集合
  1. 畢達哥拉斯質數(Pythagorean prime)(Primes congruent to 1 mod 4):5、13、17、29、37、41、53、61、73、89……(OEIS中的數列A002144)
  2. 勾股質數(Primes congruent to {1,7} mod 8):7、17、23、31、41、47、71、73、79、89、97、103、113、127……(OEIS中的數列A001132)
  3. 圭臬質數(在畢達哥拉斯數中,任一直角邊的2倍與斜邊的差中的質數:Primes congruent to {1, 2,3,11} mod 12):2、3、11、13、23、37、47、59、61、71、73、83、97、107、109、131、157、167、179……(OEIS中的數列A038874)
  4. 黃金質數(Primes congruent to {0,1,4} mod 5):5、11、19、29、31、41、59、61、71、79、89、101、109……(OEIS中的數列A038872)(OEIS中的數列A141158)
  5. 鑽石質數(Primes congruent to {1,3} mod 6):3、7、13、19、31、37、43、61、67、73、79、97、103、109、127……(OEIS中的數列A007645)
  6. 既是鑽石質數又是畢達哥拉斯質數的質數都能表示為形如a*a+b*b±4*a*b的鑽戒質數(Primes congruent to 1 mod 12):13、37、61、73、97、109……(OEIS中的數列A068228)(OEIS中的數列A141122)
  7. 另一個鑽石質數的子集能表示為形如a*a+b*b±5*a*b的鑽鐲質數(Primes of the form x^2±3*x*y-3*y^2 (as well as of the form x^2±5*x*y+y^2)):7、37、43、67、79、109、127、151……(OEIS中的數列A139492)(OEIS中的數列A141159)
  8. 既是勾股質數又是畢達哥拉斯質數的質數都能表示為形如a*a+b*b±6*a*b的魔幻質數(Primes congruent to 1 mod 8):17、41、73、89、97、113……(OEIS中的數列A007519)(OEIS中的數列A141174)
  9. 既是鑽石質數又是黃金質數的質數都能表示為形如a*a+b*b±7*a*b的鑽鏈質數(Primes of the form x^2+5*x*y-5*y^2 (as well as of the form x^2+7*x*y+y^2)):19、31、61、79、109、139……(OEIS中的數列A033212)(OEIS中的數列A141184)
  10. 畢達哥拉斯質數中的黃金質數(Primes of form x^2+5*y^2)({1,5,9} mod 20):5、29、41、61、89、101、109、149、181、229、241……(OEIS中的數列A033205)
  11. 同時是畢達哥拉斯質數、鑽石質數和黃金質數的質數都能表示為形如a*a+b*b±8*a*b的皇冠質數:61、109、181、229、241……(OEIS中的數列A107152)(OEIS中的數列A141301)

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