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三角形的五心

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定义[编辑]

三角形五心的定义[编辑]

三角形的内心、外心、重心及垂心称为三角形的四心,定义如下:

名称 定义 图示 备注
内心 三个内角的角平分线的交点 三角形の内心.png 该点为三角形内切圆的圆心。
外心 三条边的垂直平分线的交点 三角形の外心.png 该点为三角形外接圆的圆心。
重心 三条中线的交点 三角形の重心.png 被交点划分的线段比例为1:2(靠近角的一段较长)。
垂心 三条高线的交点 三角形の垂心.png
Triangle.EulerLine.svg

垂心(蓝)、重心(黄)和外心(绿)能连成一线,且成比例2:1,称为尤拉线。

连同以下的旁心,合称为三角形的五心:

名称 定义 图示 备注
旁心 外角的角平分线的交点 三角形の傍心.png 有三个,为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

正弦(sine)、余弦(Cosine)定义[编辑]

∠A之度数为α
sinα=对边长/斜边长
cosα=邻边长/斜边长

直角三角形中∠A之度数为α,定义:

sinα=对边长/斜边长
cosα=邻边长/斜边长

基本性质:

  1. sinα=cos(90°-α)
    令∠B度数为β,β=90°-α,则sinα=a/c=cosβ=cos(90°-α)
  2. cosα=sin(90°-α)
    令∠B度数为β,β=90°-α,则cosα=b/c=sinβ=sin(90°-α)
  3. sin2α+cos2α=1
三角函数的平方写在角度前,不写在角度后,以和“α2取sin”区分。

两大公式[编辑]

(一)圆周角等于对同弧圆心角的一半[编辑]

正弦定理[编辑]

为外接圆半径,则

(二)余弦定理[编辑]

Triangle with notations 2.svg

三角形面积公式[编辑]

(一)已知两边及其夹角[编辑]

Triangle.TrigArea.svg

三角形面积为二分之一两边乘以夹角正弦。

△=

△=

(二)海伦-秦九韶公式[编辑]

△=

(三)内切圆半径[编辑]

,r为内切圆半径

△面积

(四)外接圆半径[编辑]

R为外接圆半径

△=

证明

(五)三中线将△切为六个等大的小△[编辑]

(六)三高[编辑]

△= ½×a×ha= ½×b×hb= ½×c×hc

(七)以三点座标求面积[编辑]

△=

如 (x1,y1) 为 (0,0) 即原点,则

△=

再旋转使 (x3,y3) 位于 X 轴,为 (x3,0)。此时 x3 为底, y2 为高:

△=

从一角出发,其两边的向量为

△=