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三角形的五心

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定義[編輯]

三角形五心的定義[編輯]

三角形的內心、外心、重心及垂心稱為三角形的四心,定義如下:

名稱 定義 圖示 備註
內心 三個內角的角平分線的交點 三角形の內心.png 該點為三角形內切圓的圓心。
外心 三條邊的垂直平分線的交點 三角形の外心.png 該點為三角形外接圓的圓心。
重心 三條中線的交點 三角形の重心.png 被交點劃分的線段比例為1:2(靠近角的一段較長)。
垂心 三條高線的交點 三角形の垂心.png
Triangle.EulerLine.svg

垂心(藍)、重心(黃)和外心(綠)能連成一線,且成比例2:1,稱為尤拉線。

連同以下的旁心,合稱為三角形的五心:

名稱 定義 圖示 備註
旁心 外角的角平分線的交點 三角形の傍心.png 有三個,為三角形某一邊上的旁切圓的圓心。

正弦(sine)、餘弦(Cosine)定義[編輯]

∠A之度數為α
sinα=對邊長/斜邊長
cosα=鄰邊長/斜邊長

直角三角形中∠A之度數為α,定義:

sinα=對邊長/斜邊長
cosα=鄰邊長/斜邊長

基本性質:

  1. sinα=cos(90°-α)
    令∠B度數為β,β=90°-α,則sinα=a/c=cosβ=cos(90°-α)
  2. cosα=sin(90°-α)
    令∠B度數為β,β=90°-α,則cosα=b/c=sinβ=sin(90°-α)
  3. sin2α+cos2α=1
三角函數的平方寫在角度前,不寫在角度後,以和「α2取sin」區分。

兩大公式[編輯]

(一)圓周角等於對同弧圓心角的一半[編輯]

正弦定理[編輯]

為外接圓半徑,則

(二)餘弦定理[編輯]

Triangle with notations 2.svg

三角形面積公式[編輯]

(一)已知兩邊及其夾角[編輯]

Triangle.TrigArea.svg

三角形面積為二分之一兩邊乘以夾角正弦。

△=

△=

(二)海倫公式[編輯]

△=

(三)內切圓半徑[編輯]

,r為內切圓半徑

△面積

(四)外接圓半徑[編輯]

R為外接圓半徑

△=

證明

(五)三中線將△切為六個等大的小△[編輯]

(六)三高[編輯]

△= ½×a×ha= ½×b×hb= ½×c×hc

(七)以三點座標求面積[編輯]

△=

如 (x1,y1) 為 (0,0) 即原點,則

△=

再旋轉使 (x3,y3) 位於 X 軸,為 (x3,0)。此時 x3 為底, y2 為高:

△=

從一角出發,其兩邊的向量為

△=