初等数论/其余不定方程

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毕氏定理[编辑]

为直角三角形的两边(股),而为斜边,则必存在关系式:,若皆为正整数,则称数组为毕氏三元数,另一方面,若为正整数,则可由以下关系式给出(以下亦为整数):

其中若,则

对于上述毕氏三元数的关系式的证明:

此外,有个由毕氏定理衍生出来的定理:

,对于大于等于的正整数,找不到非零的整数,使得此关系式成立(意即若皆为整数,在的状况下,至少有一个为零此关系式才成立)

这个定理叫费马最后定理

四平方和定理[编辑]

每个自然数可表示成最多个平方数的和,即对于所有的自然数,必可找到四个自然数(包括),使成立,另一方面,若两个数字可表为四个平方数的和,则他们的乘积亦为四个平方数的和,因此若要证明四平方数定理对每个自然数都成立,那么只需要证明这个定理对所有质数都成立就可以了。 以下为四平方和定理的证明:

配尔方程[编辑]

习题[编辑]

第一部分─基础题[编辑]

第二部分─进阶题[编辑]