初等数论/其余不定方程

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毕氏定理

若$a,b$为直角三角形的两边(股)，而$c$为斜边，则必存在关系式：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，若$a,b,c$皆为正整数，则称数组$a,b,c$为毕氏三元数，另一方面，若$a,b,c$为正整数，则$a,b,c$可由以下关系式给出(以下$u,v$亦为整数)：

• $a=u^{2}-v^{2}$

• $b=2uv$

• $c=u^{2}+v^{2}$

其中若$(u,v)=1$，则$(a,b,c)=1$

对于上述毕氏三元数的关系式的证明：

此外，有个由毕氏定理衍生出来的定理：

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$，对于大于等于$3$的正整数$n$，找不到非零的整数$a,b,c$，使得此关系式成立(意即若$a,b,c$皆为整数，在$n\geq 3$的状况下，至少有一个为零此关系式才成立)

这个定理叫费马最后定理

四平方和定理

每个自然数可表示成最多$4$个平方数的和，即对于所有的自然数$n$，必可找到四个自然数(包括$0$)$a,b,c,d$，使$n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$成立，另一方面，若两个数字可表为四个平方数的和，则他们的乘积亦为四个平方数的和，因此若要证明四平方数定理对每个自然数都成立，那么只需要证明这个定理对所有质数都成立就可以了。 以下为四平方和定理的证明：