数论 > 初等数论 > 初等数论/其馀不定方程
若
为直角三角形的两边(股),而
为斜边,则必存在关系式:
,若
皆为正整数,则称数组
为毕氏三元数,另一方面,若
为正整数,则
可由以下关系式给出(以下
亦为整数):
![{\displaystyle a=u^{2}-v^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26608020e70b3362d4860090273046a7b1757da)
![{\displaystyle b=2uv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202edfe6202029ac2aa3c5eb93879d18e8f6968c)
![{\displaystyle c=u^{2}+v^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23fd6868977689d1556a64109742b49ff0a8540)
其中若
,则
对于上述毕氏三元数的关系式的证明:
此外,有个由毕氏定理衍生出来的定理:
,对于大于等于
的正整数
,找不到非零的整数
,使得此关系式成立(意即若
皆为整数,在
的状况下,至少有一个为零此关系式才成立)
这个定理叫费马最后定理
每个自然数可表示成最多
个平方数的和,即对于所有的自然数
,必可找到四个自然数(包括
)
,使
成立,另一方面,若两个数字可表为四个平方数的和,则他们的乘积亦为四个平方数的和,因此若要证明四平方数定理对每个自然数都成立,那么只需要证明这个定理对所有质数都成立就可以了。
以下为四平方和定理的证明:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Book_important2.svg/45px-Book_important2.svg.png) |
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