初等數論/其餘不定方程

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畢氏定理

若$a,b$為直角三角形的兩邊(股)，而$c$為斜邊，則必存在關係式：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，若$a,b,c$皆為正整數，則稱數組$a,b,c$為畢氏三元數，另一方面，若$a,b,c$為正整數，則$a,b,c$可由以下關係式給出(以下$u,v$亦為整數)：

• $a=u^{2}-v^{2}$

• $b=2uv$

• $c=u^{2}+v^{2}$

其中若$(u,v)=1$，則$(a,b,c)=1$

對於上述畢氏三元數的關係式的證明：

此外，有個由畢氏定理衍生出來的定理：

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$，對於大於等於$3$的正整數$n$，找不到非零的整數$a,b,c$，使得此關係式成立(意即若$a,b,c$皆為整數，在$n\geq 3$的狀況下，至少有一個為零此關係式才成立)

這個定理叫費馬最後定理

四平方和定理

每個自然數可表示成最多$4$個平方數的和，即對於所有的自然數$n$，必可找到四個自然數(包括$0$)$a,b,c,d$，使$n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$成立，另一方面，若兩個數字可表為四個平方數的和，則他們的乘積亦為四個平方數的和，因此若要證明四平方數定理對每個自然數都成立，那麼只需要證明這個定理對所有質數都成立就可以了。 以下為四平方和定理的證明：