數論 > 初等數論 > 初等數論/其餘不定方程
若
為直角三角形的兩邊(股),而
為斜邊,則必存在關係式:
,若
皆為正整數,則稱數組
為畢氏三元數,另一方面,若
為正整數,則
可由以下關係式給出(以下
亦為整數):
![{\displaystyle a=u^{2}-v^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26608020e70b3362d4860090273046a7b1757da)
![{\displaystyle b=2uv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202edfe6202029ac2aa3c5eb93879d18e8f6968c)
![{\displaystyle c=u^{2}+v^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23fd6868977689d1556a64109742b49ff0a8540)
其中若
,則
對於上述畢氏三元數的關係式的證明:
此外,有個由畢氏定理衍生出來的定理:
,對於大於等於
的正整數
,找不到非零的整數
,使得此關係式成立(意即若
皆為整數,在
的狀況下,至少有一個為零此關係式才成立)
這個定理叫費馬最後定理
每個自然數可表示成最多
個平方數的和,即對於所有的自然數
,必可找到四個自然數(包括
)
,使
成立,另一方面,若兩個數字可表為四個平方數的和,則他們的乘積亦為四個平方數的和,因此若要證明四平方數定理對每個自然數都成立,那麼只需要證明這個定理對所有質數都成立就可以了。
以下為四平方和定理的證明:
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Book_important2.svg/45px-Book_important2.svg.png) |
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