初等數論/其餘不定方程

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畢氏定理[編輯]

為直角三角形的兩邊(股),而為斜邊,則必存在關係式:,若皆為正整數,則稱數組為畢氏三元數,另一方面,若為正整數,則可由以下關係式給出(以下亦為整數):

其中若,則

對於上述畢氏三元數的關係式的證明:

此外,有個由畢氏定理衍生出來的定理:

,對於大於等於的正整數,找不到非零的整數,使得此關係式成立(意即若皆為整數,在的狀況下,至少有一個為零此關係式才成立)

這個定理叫費馬最後定理

四平方和定理[編輯]

每個自然數可表示成最多個平方數的和,即對於所有的自然數,必可找到四個自然數(包括),使成立,另一方面,若兩個數字可表為四個平方數的和,則他們的乘積亦為四個平方數的和,因此若要證明四平方數定理對每個自然數都成立,那麼只需要證明這個定理對所有質數都成立就可以了。 以下為四平方和定理的證明:

配爾方程[編輯]

習題[編輯]

第一部份─基礎題[編輯]

第二部份─進階題[編輯]