测度论初步

本书的目的是介绍初步的测度论知识，为实变函数、公理概率论等其它数学分支的学习做准备。

本书对读者的设定为：假定读者为数学系本科生，能够接受比较抽象的数学语言，了解微积分的基本思想，但在知识上不要求读者系统的学习过数学分析或实分析。

编写者可参考或编辑格式指南，以便使用模板等工具。

前言

测度是点集上的实函数，它是长度、面积、体积等度量的推广，和古典的概念相比，它可以使我们在更一般的点集上讨论诸如长度、面积、体积这样的概念，例如[0,1]上所有有理数构成的集合的长度。

几个出于直觉的要求是：1)空集的测度是0，2)测度是正定的，3）测度可以相加减。第3条需要做一点说明，比较直观的要求是：若 $\mu$ 是测度则 $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$ 。这自然对 $\mu$ 的定义域提出了要求，即对于交、并、差封闭。更进一步的，我们希望使用极限等工具讨论比较复杂的点集，因而要求得比上面更高一点，即 $\mu$ 的定义域对于集合的极限运算也封闭，这样它就构成一个 σ-环，是我们第一章讨论的内容。有了这个基础之后，我们再讨论测度的正式定义即基本性质。接下来两章讨论怎样定义一个测度，最后作为一个特例，讨论勒贝格测度。

环、 σ-环

设X是一个集合，那么它的所有子集构成的集合称为X的幂集，记作 $2^{X}$ ，为了强调它以集合为元素，我们把 $2^{X}$ 及其真子集都称为集类，相应的X称为基本空间。

环:若A是基本空间X的子集构成的集类，并且对于并和差这两种运算封闭，即 $\forall a\in A,a\subset X$ ，且当 $\forall a,b\in A$ 时总有 $a\cup b\in A$ 及 $a-b\in A$ ，那么称A是一个环。

（可以验证，如果以对称差为加法，以集合的交为乘法，上述定义符合代数中不要求单位元的环的公理。）由上述定义显然有

定理1.1	环对集合的有限交封闭
证明:	设 $a\in A,b\in A$ ，于是 $a\cap b=a\cup b-(a-b)-(b-a)$ . 由环的定义，它对并和差封闭，故而 $a\cap b\in A$ .
	O

如前所述，我们还希望引入集合的极限运算，以便将来讨论极限下的测度，为此定义σ-环如下

σ-环:若A是环，并且对于可列并封闭，即 $\forall a_{n}\in A$ 总有 $\cup _{n}a_{n}\in A$ ，那么称A是一个σ-环。

显然有

定理1.2	σ-环对集合的可列交封闭
证明:	设 $a_{1},a_{2},a_{3}...\in A$ ，于是 $\cap _{n}a_{n}=a_{1}\cap _{n}a_{n}=a_{1}-(a_{1}-\cap _{n}a_{n})=a_{1}-\cup _{n}(a_{1}-a_{n})\in A$ . 由环的定义，它对并和差封闭，故而 $\cap _{n}a_{n}\in A$ .
	O

生成环和生成σ-环

注意到环（σ-环）的任意交仍是环（σ-环），可以定义任意集类的生成环（σ-环）。

集类E生成的环和σ-环分别记作R(E)和S(E)，不难证明：S(R(E))=S(E)。

如果定义 $R_{0}=E$ , $R_{n+1}=S_{n+1}\cup T_{n+1}$ ，其中 $S_{n+1}=\{A\cup B|A,B\in R_{n}\}$ ， $T_{n+1}=\{A-B|A,B\in R_{n}\}$ ，则有

定理1.3	$R(E)=\cup _{n=0}^{\infty }R_{n}$
证明:	由R(E)的定义与R_{n}的构造方式，显然R(E)\subset R_{n}。另一方面， $\forall r_{1},r_{2}\in \cup _{n}R_{n}$ ，不妨设 $r_{1}\in R_{m},r_{2}\in R_{n}$ $m<=n$ ，那么 $r_{1}\cup r_{2}\in R_{n+1},r_{1}-r_{2}\in R_{n+1},r2-r1\in R_{n+1}$ ，从而 $\cup _{n}R_{n}$ 对并和差封闭，是包含E的环，从而R(E)\subset R_{n}。综合以上两方面，有 $R(E)=\cup _{n}R_{n}$ 。
	O