測度論初步

本書的目的是介紹初步的測度論知識，為實變函數、公理概率論等其它數學分支的學習做準備。

本書對讀者的設定為：假定讀者為數學系本科生，能夠接受比較抽象的數學語言，了解微積分的基本思想，但在知識上不要求讀者系統的學習過數學分析或實分析。

編寫者可參考或編輯格式指南，以便使用模板等工具。

前言

測度是點集上的實函數，它是長度、面積、體積等度量的推廣，和古典的概念相比，它可以使我們在更一般的點集上討論諸如長度、面積、體積這樣的概念，例如[0,1]上所有有理數構成的集合的長度。

幾個出於直覺的要求是：1)空集的測度是0，2)測度是正定的，3）測度可以相加減。第3條需要做一點說明，比較直觀的要求是：若 $\mu$ 是測度則 $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$ 。這自然對 $\mu$ 的定義域提出了要求，即對於交、並、差封閉。更進一步的，我們希望使用極限等工具討論比較複雜的點集，因而要求得比上面更高一點，即 $\mu$ 的定義域對於集合的極限運算也封閉，這樣它就構成一個 σ-環，是我們第一章討論的內容。有了這個基礎之後，我們再討論測度的正式定義即基本性質。接下來兩章討論怎樣定義一個測度，最後作為一個特例，討論勒貝格測度。

環、 σ-環

設X是一個集合，那麼它的所有子集構成的集合稱為X的冪集，記作 $2^{X}$ ，為了強調它以集合為元素，我們把 $2^{X}$ 及其真子集都稱為集類，相應的X稱為基本空間。

環:若A是基本空間X的子集構成的集類，並且對於並和差這兩種運算封閉，即 $\forall a\in A,a\subset X$ ，且當 $\forall a,b\in A$ 時總有 $a\cup b\in A$ 及 $a-b\in A$ ，那麼稱A是一個環。

（可以驗證，如果以對稱差為加法，以集合的交為乘法，上述定義符合代數中不要求單位元的環的公理。）由上述定義顯然有

定理1.1	環對集合的有限交封閉
證明:	設 $a\in A,b\in A$ ，於是 $a\cap b=a\cup b-(a-b)-(b-a)$ . 由環的定義，它對並和差封閉，故而 $a\cap b\in A$ .
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如前所述，我們還希望引入集合的極限運算，以便將來討論極限下的測度，為此定義σ-環如下

σ-環:若A是環，並且對於可列並封閉，即 $\forall a_{n}\in A$ 總有 $\cup _{n}a_{n}\in A$ ，那麼稱A是一個σ-環。

顯然有

定理1.2	σ-環對集合的可列交封閉
證明:	設 $a_{1},a_{2},a_{3}...\in A$ ，於是 $\cap _{n}a_{n}=a_{1}\cap _{n}a_{n}=a_{1}-(a_{1}-\cap _{n}a_{n})=a_{1}-\cup _{n}(a_{1}-a_{n})\in A$ . 由環的定義，它對並和差封閉，故而 $\cap _{n}a_{n}\in A$ .
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生成環和生成σ-環

注意到環（σ-環）的任意交仍是環（σ-環），可以定義任意集類的生成環（σ-環）。

集類E生成的環和σ-環分別記作R(E)和S(E)，不難證明：S(R(E))=S(E)。

如果定義 $R_{0}=E$ , $R_{n+1}=S_{n+1}\cup T_{n+1}$ ，其中 $S_{n+1}=\{A\cup B|A,B\in R_{n}\}$ ， $T_{n+1}=\{A-B|A,B\in R_{n}\}$ ，則有

定理1.3	$R(E)=\cup _{n=0}^{\infty }R_{n}$
證明:	由R(E)的定義與R_{n}的構造方式，顯然R(E)\subset R_{n}。另一方面， $\forall r_{1},r_{2}\in \cup _{n}R_{n}$ ，不妨設 $r_{1}\in R_{m},r_{2}\in R_{n}$ $m<=n$ ，那麼 $r_{1}\cup r_{2}\in R_{n+1},r_{1}-r_{2}\in R_{n+1},r2-r1\in R_{n+1}$ ，從而 $\cup _{n}R_{n}$ 對並和差封閉，是包含E的環，從而R(E)\subset R_{n}。綜合以上兩方面，有 $R(E)=\cup _{n}R_{n}$ 。
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