測度論初步

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本書的目的是介紹初步的測度論知識,為實變函數、公理機率論等其它數學分支的學習做準備。

本書對讀者的設定為:假定讀者為數學系本科生,能夠接受比較抽象的數學語言,了解微積分的基本思想,但在知識上不要求讀者系統的學習過數學分析或實分析。

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前言[編輯]

測度是點集上的實函數,它是長度、面積、體積等度量的推廣,和古典的概念相比,它可以使我們在更一般的點集上討論諸如長度、面積、體積這樣的概念,例如[0,1]上所有有理數構成的集合的長度。

幾個出於直覺的要求是:1)空集的測度是0,2)測度是正定的,3)測度可以相加減。第3條需要做一點說明,比較直觀的要求是:若是測度則。這自然對的定義域提出了要求,即對於交、並、差封閉。更進一步的,我們希望使用極限等工具討論比較複雜的點集,因而要求得比上面更高一點,即的定義域對於集合的極限運算也封閉,這樣它就構成一個 σ-環,是我們第一章討論的內容。有了這個基礎之後,我們再討論測度的正式定義即基本性質。接下來兩章討論怎樣定義一個測度,最後作為一個特例,討論勒貝格測度。

環、 σ-環[編輯]

設X是一個集合,那麼它的所有子集構成的集合稱為X的冪集,記作,為了強調它以集合為元素,我們把及其真子集都稱為集類,相應的X稱為基本空間。

:若A是基本空間X的子集構成的集類,並且對於並和差這兩種運算封閉,即,且當時總有,那麼稱A是一個環。

(可以驗證,如果以對稱差為加法,以集合的交為乘法,上述定義符合代數中不要求單位元的環的公理。)由上述定義顯然有

定理1.1 環對集合的有限交封閉
證明:

,於是 . 由環的定義,它對並和差封閉,故而.

O

如前所述,我們還希望引入集合的極限運算,以便將來討論極限下的測度,為此定義σ-環如下

σ-環:若A是環,並且對於可列並封閉,即總有,那麼稱A是一個σ-環。


顯然有

定理1.2 σ-環對集合的可列交封閉
證明:

,於是 . 由環的定義,它對並和差封閉,故而.

O

生成環和生成σ-環[編輯]

注意到環(σ-環)的任意交仍是環(σ-環),可以定義任意集類的生成環(σ-環)。

集類E生成的環和σ-環分別記作R(E)和S(E),不難證明:S(R(E))=S(E)。

如果定義, ,其中,則有

定理1.3
證明:

由R(E)的定義與R_{n}的構造方式,顯然R(E)\subset R_{n}。

另一方面,

不妨設

那麼

從而對並和差封閉,是包含E的環,從而R(E)\subset R_{n}。

綜合以上兩方面,有

O

生成 σ-環的構造可以用類似的思想得到,不過需要超限數,暫不討論。

環上的測度[編輯]

外測度[編輯]

測度的延拓[編輯]

勒貝格測度[編輯]