高中数学/第一章 集合/集合的基本概念

^{集合的定义}
岁月沧桑，斗转星移，人类是在星空的照耀下走到今天的，而天上的繁星也给人类带来的无尽的想象。事实上，人类很早就在探寻星空的秘密，并且现在仍在探寻的路上不断前进，不过这不是我们这本书的主题。一个值得注意的现象是，不同地区的人都给天上的星星起名字，还把同一区域的星星放在一起起个名字。例如北方有七颗亮星，形状像一把勺子，古人就把他们合在一起，称为“北斗”；西游记里常常提到的二十八宿，每一宿都是某些星星的合称，而这二十八宿，又被分成4组，构成所谓的“四象”，即东青龙、西白虎、南朱雀、北玄武，每一象各有7宿。西方对星空也有类似的划分，它们把黄道附近的星星分成12个星座，称为“黄道十二宫”，例如“白羊宫”、“金牛宫”等等。如果一个人从来没有过“星宿”或者“星座”的概念，那么当他面对漫天繁星时，惊叹之余也难免会感到迷茫和模糊。而把它们分类之后，在他眼里，天上的星斗就不再是一盘散沙，而是变成了规规矩矩的一块一块，还都有了名字。他可以认出哪些是北斗七星，哪颗是北极星。如果他观察得很仔细，他可能发现，前些天北斗星的斗柄是指向东方的，而今天斗柄已经偏向南方了。如果他观察得更仔细些，他还能发现，有的星星是老老实实的跟着大家一起东升西落，而且每天都比前一天出来得早一点儿（这与地球公转有关），但有几颗星星跟大家步调不大一致，跑来跑去，于是给它们起个名字，叫作“行星”。实际上，我们要认识世界，总是像认识星星那样，先给各种东西分分类，起个名字，这样，原本千头万绪的世界就变得井井有条了。我们对动植物的认识，把学校分成年级和班级，商店里文具和食品摆在不同的货架上，等等等等，这些都是在分类。而数学中，分类也是一个重要的想法，我们总是把研究的东西（例如数、图形）做一些分类，这是我们进行研究的第一步，每一类就叫作一个集合，被分在集合中的东西就叫作这个集合的元素。

 事实上，基于此，我们可以为集合下一个定义我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合

 ①我们要求集合的定义是明确的。即对于每个被考察的对象，它要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素。比如“所有体重超过200斤的人”可以构成一个
集合，而“所有胖子”则不能，因为哪些人是“胖子”，哪些人不是“胖子”并没有一个明确的标准。又比如“身高在185cm以上的人”可以构成一个集合，而“所有
高个子”则不能。

 ②我们要求集合中的元素必须是互异的。即集合中的元素不能重复出现，有重复出现元素的必定不是集合。

 ③构成集合的元素可以是无序的。即集合内的元素可以任意以任意顺序排列。

^{集合的相互关系及其表示法}

 集合通常用大写的拉丁字母A,B,C等表示，而集合的元素通常用小写的拉丁字母a,b,c等表示。
 中学阶段常用的集合有约定俗成的表示：
 所有自然数构成的集合称为自然数集，记作N。
 所有整数构成的集合称为整数集，记作Z。
 所有有理数构成的集合称为有理数集，记作Q。
 所有实数构成的集合称为实数集，记作R。

 若组成集合的元素完全相同，那么，我们就说，这两个集合是相等的。若集合A与集合B相等，记作：A=B。

 若元素a是集合A中的一个元素，我们就说a属于A，记作：a∈A。若不是，则说a不属于A，记作：a∉A。

 若集合A的所有元素都在集合B中，我们就说“A含于B”或“B包含于A”，记作：A⊆B。若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，亦称A真包含于B，或B真包含A，记作
A⊂B。