高中数学/第一章 集合/集合的基本概念

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集合的定义
岁月沧桑,斗转星移,人类是在星空的照耀下走到今天的,而天上的繁星也给人类带来的无尽的想象。事实上,人类很早就在探寻星空的秘密,并且现在仍在探寻的路上不断前进,不过这不是我们这本书的主题。一个值得注意的现象是,不同地区的人都给天上的星星起名字,还把同一区域的星星放在一起起个名字。例如北方有七颗亮星,形状像一把勺子,古人就把他们合在一起,称为“北斗”;西游记里常常提到的二十八宿,每一宿都是某些星星的合称,而这二十八宿,又被分成4组,构成所谓的“四象”,即东青龙、西白虎、南朱雀、北玄武,每一象各有7宿。西方对星空也有类似的划分,它们把黄道附近的星星分成12个星座,称为“黄道十二宫”,例如“白羊宫”、“金牛宫”等等。如果一个人从来没有过“星宿”或者“星座”的概念,那么当他面对漫天繁星时,惊叹之余也难免会感到迷茫和模糊。而把它们分类之后,在他眼里,天上的星斗就不再是一盘散沙,而是变成了规规矩矩的一块一块,还都有了名字。他可以认出哪些是北斗七星,哪颗是北极星。如果他观察得很仔细,他可能发现,前些天北斗星的斗柄是指向东方的,而今天斗柄已经偏向南方了。如果他观察得更仔细些,他还能发现,有的星星是老老实实的跟着大家一起东升西落,而且每天都比前一天出来得早一点儿(这与地球公转有关),但有几颗星星跟大家步调不大一致,跑来跑去,于是给它们起个名字,叫作“行星”。实际上,我们要认识世界,总是像认识星星那样,先给各种东西分分类,起个名字,这样,原本千头万绪的世界就变得井井有条了。我们对动植物的认识,把学校分成年级和班级,商店里文具和食品摆在不同的货架上,等等等等,这些都是在分类。而数学中,分类也是一个重要的想法,我们总是把研究的东西(例如数、图形)做一些分类,这是我们进行研究的第一步,每一类就叫作一个集合,被分在集合中的东西就叫作这个集合的元素。

 事实上,基于此,我们可以为集合下一个定义我们把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合
我们要求集合的定义是明确的。即对于每个被考察的对象,它要么是这个集合的元素,要么不是这个集合的元素。比如“所有体重超过200斤的人”可以构成一个
集合,而“所有胖子”则不能,因为哪些人是“胖子”,哪些人不是“胖子”并没有一个明确的标准。又比如“身高在185cm以上的人”可以构成一个集合,而“所有
高个子”则不能。
我们要求集合中的元素必须是互异的。即集合中的元素不能重复出现,有重复出现元素的必定不是集合。
构成集合的元素可以是无序的。即集合内的元素可以任意以任意顺序排列。

集合的相互关系及其表示法

 集合通常用大写的拉丁字母A,B,C等表示,而集合的元素通常用小写的拉丁字母a,b,c等表示。
 中学阶段常用的集合有约定俗成的表示:
 所有自然数构成的集合称为自然数集,记作N。
 所有整数构成的集合称为整数集,记作Z。
 所有有理数构成的集合称为有理数集,记作Q。
 所有实数构成的集合称为实数集,记作R。
若组成集合的元素完全相同,那么,我们就说,这两个集合是相等的。若集合A与集合B相等,记作:A=B
若元素a是集合A中的一个元素,我们就说a属于A,记作:a∈A。若不是,则说a不属于A,记作:a∉A
若集合A的所有元素都在集合B中,我们就说“A含于B”或“B包含于A”,记作:A⊆B。若A⊆B且A≠B,则称A是B的真子集,亦称A真包含于B,或B真包含A,记作
A⊂B