高中數學/第一章 集合/集合的基本概念

維基教科書,自由的教學讀本
跳至導覽 跳至搜尋

集合的定義
歲月滄桑,斗轉星移,人類是在星空的照耀下走到今天的,而天上的繁星也給人類帶來的無盡的想象。事實上,人類很早就在探尋星空的秘密,並且現在仍在探尋的路上不斷前進,不過這不是我們這本書的主題。一個值得注意的現象是,不同地區的人都給天上的星星起名字,還把同一區域的星星放在一起起個名字。例如北方有七顆亮星,形狀像一把勺子,古人就把他們合在一起,稱為「北斗」;西遊記里常常提到的二十八宿,每一宿都是某些星星的合稱,而這二十八宿,又被分成4組,構成所謂的「四象」,即東青龍、西白虎、南朱雀、北玄武,每一象各有7宿。西方對星空也有類似的劃分,它們把黃道附近的星星分成12個星座,稱為「黃道十二宮」,例如「白羊宮」、「金牛宮」等等。如果一個人從來沒有過「星宿」或者「星座」的概念,那麼當他面對漫天繁星時,驚嘆之餘也難免會感到迷茫和模糊。而把它們分類之後,在他眼裡,天上的星斗就不再是一盤散沙,而是變成了規規矩矩的一塊一塊,還都有了名字。他可以認出哪些是北斗七星,哪顆是北極星。如果他觀察得很仔細,他可能發現,前些天北斗星的斗柄是指向東方的,而今天斗柄已經偏向南方了。如果他觀察得更仔細些,他還能發現,有的星星是老老實實的跟着大家一起東升西落,而且每天都比前一天出來得早一點兒(這與地球公轉有關),但有幾顆星星跟大家步調不大一致,跑來跑去,於是給它們起個名字,叫作「行星」。實際上,我們要認識世界,總是像認識星星那樣,先給各種東西分分類,起個名字,這樣,原本千頭萬緒的世界就變得井井有條了。我們對動植物的認識,把學校分成年級和班級,商店裡文具和食品擺在不同的貨架上,等等等等,這些都是在分類。而數學中,分類也是一個重要的想法,我們總是把研究的東西(例如數、圖形)做一些分類,這是我們進行研究的第一步,每一類就叫作一個集合,被分在集合中的東西就叫作這個集合的元素。

 事实上,基于此,我们可以为集合下一个定义我们把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合
我们要求集合的定义是明确的。即对于每个被考察的对象,它要么是这个集合的元素,要么不是这个集合的元素。比如“所有体重超过200斤的人”可以构成一个
集合,而“所有胖子”则不能,因为哪些人是“胖子”,哪些人不是“胖子”并没有一个明确的标准。又比如“身高在185cm以上的人”可以构成一个集合,而“所有
高个子”则不能。
我们要求集合中的元素必须是互异的。即集合中的元素不能重复出现,有重复出现元素的必定不是集合。
构成集合的元素可以是无序的。即集合内的元素可以任意以任意顺序排列。

集合的相互關係及其表示法

 集合通常用大写的拉丁字母A,B,C等表示,而集合的元素通常用小写的拉丁字母a,b,c等表示。
 中学阶段常用的集合有约定俗成的表示:
 所有自然数构成的集合称为自然数集,记作N。
 所有整数构成的集合称为整数集,记作Z。
 所有有理数构成的集合称为有理数集,记作Q。
 所有实数构成的集合称为实数集,记作R。
若组成集合的元素完全相同,那么,我们就说,这两个集合是相等的。若集合A与集合B相等,记作:A=B
若元素a是集合A中的一个元素,我们就说a属于A,记作:a∈A。若不是,则说a不属于A,记作:a∉A
若集合A的所有元素都在集合B中,我们就说“A含于B”或“B包含于A”,记作:A⊆B。若A⊆B且A≠B,则称A是B的真子集,亦称A真包含于B,或B真包含A,记作
A⊂B