高中數學/第一章 集合/集合的基本概念

^{集合的定義}
歲月滄桑，斗轉星移，人類是在星空的照耀下走到今天的，而天上的繁星也給人類帶來的無盡的想像。事實上，人類很早就在探尋星空的秘密，並且現在仍在探尋的路上不斷前進，不過這不是我們這本書的主題。一個值得注意的現象是，不同地區的人都給天上的星星起名字，還把同一區域的星星放在一起起個名字。例如北方有七顆亮星，形狀像一把勺子，古人就把他們合在一起，稱為「北斗」；西遊記里常常提到的二十八宿，每一宿都是某些星星的合稱，而這二十八宿，又被分成4組，構成所謂的「四象」，即東青龍、西白虎、南朱雀、北玄武，每一象各有7宿。西方對星空也有類似的劃分，它們把黃道附近的星星分成12個星座，稱為「黃道十二宮」，例如「白羊宮」、「金牛宮」等等。如果一個人從來沒有過「星宿」或者「星座」的概念，那麼當他面對漫天繁星時，驚嘆之餘也難免會感到迷茫和模糊。而把它們分類之後，在他眼裏，天上的星斗就不再是一盤散沙，而是變成了規規矩矩的一塊一塊，還都有了名字。他可以認出哪些是北斗七星，哪顆是北極星。如果他觀察得很仔細，他可能發現，前些天北斗星的斗柄是指向東方的，而今天斗柄已經偏向南方了。如果他觀察得更仔細些，他還能發現，有的星星是老老實實的跟着大家一起東升西落，而且每天都比前一天出來得早一點兒（這與地球公轉有關），但有幾顆星星跟大家步調不大一致，跑來跑去，於是給它們起個名字，叫作「行星」。實際上，我們要認識世界，總是像認識星星那樣，先給各種東西分分類，起個名字，這樣，原本千頭萬緒的世界就變得井井有條了。我們對動植物的認識，把學校分成年級和班級，商店裏文具和食品擺在不同的貨架上，等等等等，這些都是在分類。而數學中，分類也是一個重要的想法，我們總是把研究的東西（例如數、圖形）做一些分類，這是我們進行研究的第一步，每一類就叫作一個集合，被分在集合中的東西就叫作這個集合的元素。

 事实上，基于此，我们可以为集合下一个定义我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合

 ①我们要求集合的定义是明确的。即对于每个被考察的对象，它要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素。比如“所有体重超过200斤的人”可以构成一个
集合，而“所有胖子”则不能，因为哪些人是“胖子”，哪些人不是“胖子”并没有一个明确的标准。又比如“身高在185cm以上的人”可以构成一个集合，而“所有
高个子”则不能。

 ②我们要求集合中的元素必须是互异的。即集合中的元素不能重复出现，有重复出现元素的必定不是集合。

 ③构成集合的元素可以是无序的。即集合内的元素可以任意以任意顺序排列。

^{集合的相互關係及其表示法}

 集合通常用大写的拉丁字母A,B,C等表示，而集合的元素通常用小写的拉丁字母a,b,c等表示。
 中学阶段常用的集合有约定俗成的表示：
 所有自然数构成的集合称为自然数集，记作N。
 所有整数构成的集合称为整数集，记作Z。
 所有有理数构成的集合称为有理数集，记作Q。
 所有实数构成的集合称为实数集，记作R。

 若组成集合的元素完全相同，那么，我们就说，这两个集合是相等的。若集合A与集合B相等，记作：A=B。

 若元素a是集合A中的一个元素，我们就说a属于A，记作：a∈A。若不是，则说a不属于A，记作：a∉A。

 若集合A的所有元素都在集合B中，我们就说“A含于B”或“B包含于A”，记作：A⊆B。若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，亦称A真包含于B，或B真包含A，记作
A⊂B。