代数/本书课文/求和/求和符号

为了简化求和问题，首先要有求和符号，记录一个数列从什么地方加到什么地方。

求和符号的定义

$\sum _{i=a}^b{x}_i=x_a+x_{a+1}+\cdots +x_b$，其中$a\le b$，a或b为整数

Example

例子：

$\sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5=15$
$\sum _{i=3}^7{i}^2=3^2+4^2+5^2+6^2+7^2=135$
$\sum _{i=1}^{2}83-47i=36+(-11)=36-11=25$

求和的基本性质

乘上数列的常数可以抽出来

$\sum _{i=a}^{b}c{x}_i=c\sum _{i=a}^b{x}_i$

两个数列加起来的求和等于两个数列的求和加起来

$\sum _{i=a}^b(x_i+y_i)=\sum _{i=a}^b{x}_i+\sum _{i=a}^b{y}_i$

保持求和形式不变，对数列、下界、上界作变换

$\sum _{i=a}^b{x}_i=\sum _{i=-b}^{-a}{x}_{-i}$

$\sum _{i=a}^b{x}_i=\sum _{i=a+c}^{b+c}{x}_{i-c}$

例子：求$\sum _{i=3}^4(2i+1)$ $\sum _{i=3}^4(2i+1)=2\sum _{i=3}^{4}i+\sum _{i=3}^{4}1=2(3+4)+(1+1)=16$