代數/本書課文/求和/求和符號

為了簡化求和問題，首先要有求和符號，記錄一個數列從什麼地方加到什麼地方。

求和符號的定義

$\sum _{i=a}^{b}x_{i}=x_{a}+x_{a+1}+\cdots +x_{b}$，其中$a\leq b$，a或b為整數

Example

例子：

$\sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5=15$
$\sum _{i=3}^{7}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}=135$
$\sum _{i=1}^{2}83-47i=36+(-11)=36-11=25$

求和的基本性質

乘上數列的常數可以抽出來

$\sum _{i=a}^{b}cx_{i}=c\sum _{i=a}^{b}x_{i}$

兩個數列加起來的求和等於兩個數列的求和加起來

$\sum _{i=a}^{b}(x_{i}+y_{i})=\sum _{i=a}^{b}x_{i}+\sum _{i=a}^{b}y_{i}$

保持求和形式不變，對數列、下界、上界作變換

$\sum _{i=a}^{b}x_{i}=\sum _{i=-b}^{-a}x_{-i}$

$\sum _{i=a}^{b}x_{i}=\sum _{i=a+c}^{b+c}x_{i-c}$

例子：求$\sum _{i=3}^{4}(2i+1)$ $\sum _{i=3}^{4}(2i+1)=2\sum _{i=3}^{4}i+\sum _{i=3}^{4}1=2(3+4)+(1+1)=16$