基础力学/冲量、动量与动量定理

 动量、动量守恒

动量（momentum）的定义是质量与速度的乘积：${\vec {p}}=m\cdot {\vec {v}}$，单位是$\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m/s}$ .动量是一个矢量，其方向与物体运动速度的方向相同，这一点从它的定义也能看出。

动量所表示的物理含义是，物体在运动方向上保持运动趋势的能力。动量越大，则改变物体的运动趋势越困难。

如果一个系统不受外力（这个条件一般是不成立的，除非是理想实验）或合外力为零，那么这个系统的动量守恒。系统内部的相互作用不会改变系统的动量，系统的动量等于系统中各个物体动量的矢量和。

冲量、冲量定理

冲量是以导出量，其表述形式为：${\vec {I}}={\vec {F}}(t)\Delta t$，单位是${\vec {N}}\cdot \mathrm {s}$.冲量反映了力作用的时间积累效果。

冲量定理：冲量的大小等于物体动量的变化量。用公式表述，其形式为$\int _{0}^{t}{\vec {F}}(t)\,dt=m{\vec {v}}-m{\vec {v_{0}}}$.由于冲量定理显示了冲量和动量之间的联系，所以动量的单位除了$\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m/s}$之外，还有${\vec {N}}\cdot \mathrm {s}$这个单位。

质点组的情况

设有一组质点，编号为$1,2,3,\cdots ,n$，第$i$个质点的质量为$m_{i}$，动量为${\boldsymbol {p}}_{i}$，受到的力为${\boldsymbol {f}}_{i}$，我们把${\boldsymbol {f}}_{i}$分成两部分${\boldsymbol {f}}_{i}={\boldsymbol {f}}_{i}^{in}+{\boldsymbol {f}}_{i}^{ex}$，一部分是来自质点组内部的其它粒子的${\boldsymbol {f}}_{i}^{in}=\sum _{j\neq i}{\boldsymbol {f}}_{j\rightarrow i}$，其中${\boldsymbol {f}}_{j\rightarrow i}$是粒子$j$对粒子$i$的力；另一部分是来自质点组外部的${\boldsymbol {f}}_{i}^{ex}$。定义质点组的总动量 ${\boldsymbol {P}}\equiv \sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}$， 质点组受到的合外力${\boldsymbol {F}}\equiv \sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}^{ex}$， 于是 ${\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {P}}={\frac {d}{dt}}\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {p}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}=\sum _{i}({\boldsymbol {f}}_{i}^{in}+{\boldsymbol {f}}_{i}^{ex})=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}^{in}+\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}^{ex}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}^{ex}={\boldsymbol {F}}$

其中用到了 $\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}^{in}=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{j\rightarrow i}^{in}=\sum _{j}\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{j\rightarrow i}^{in}=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{i\rightarrow j}^{in}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}({\boldsymbol {f}}_{j\rightarrow i}^{in}+{\boldsymbol {f}}_{i\rightarrow j}^{in})=0$

因此质点组的总动量的变化率与合外力成正比。

质点组的总动量可以写成如下形式 ${\boldsymbol {P}}=M\cdot {\frac {\boldsymbol {P}}{M}}=M\cdot {\frac {\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}}{M}}=M{\frac {\sum _{i}m_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}}{M}}=M{\frac {\sum _{i}m_{i}(d/dt){\boldsymbol {r}}_{i}}{M}}=M{\frac {d}{dt}}{\frac {\sum _{i}m_{i}{\boldsymbol {r}}_{i}}{M}}=M{\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {r}}_{C}=M{\boldsymbol {v}}_{C}$

其中我们引入质心的定义 ${\boldsymbol {r}}_{C}\equiv {\frac {\sum _{i}m_{i}{\boldsymbol {r}}_{i}}{M}}$

$M=\sum _{i}m_{i}$是质点组的总质量。

质心速度 ${\boldsymbol {v}}_{C}\equiv {\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {r}}_{C}$