基礎力學/衝量、動量與動量定理

 動量、動量守恆

動量（momentum）的定義是質量與速度的乘積：${\vec {p}}=m\cdot {\vec {v}}$，單位是$\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m/s}$ .動量是一個矢量，其方向與物體運動速度的方向相同，這一點從它的定義也能看出。

動量所表示的物理含義是，物體在運動方向上保持運動趨勢的能力。動量越大，則改變物體的運動趨勢越困難。

如果一個系統不受外力（這個條件一般是不成立的，除非是理想實驗）或合外力為零，那麼這個系統的動量守恆。系統內部的相互作用不會改變系統的動量，系統的動量等於系統中各個物體動量的矢量和。

衝量、衝量定理

衝量是以導出量，其表述形式為：${\vec {I}}={\vec {F}}(t)\Delta t$，單位是${\vec {N}}\cdot \mathrm {s}$.衝量反映了力作用的時間積累效果。

衝量定理：衝量的大小等於物體動量的變化量。用公式表述，其形式為$\int _{0}^{t}{\vec {F}}(t)\,dt=m{\vec {v}}-m{\vec {v_{0}}}$.由於衝量定理顯示了衝量和動量之間的聯繫，所以動量的單位除了$\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m/s}$之外，還有${\vec {N}}\cdot \mathrm {s}$這個單位。

質點組的情況

設有一組質點，編號為$1,2,3,\cdots ,n$，第$i$個質點的質量為$m_{i}$，動量為${\boldsymbol {p}}_{i}$，受到的力為${\boldsymbol {f}}_{i}$，我們把${\boldsymbol {f}}_{i}$分成兩部分${\boldsymbol {f}}_{i}={\boldsymbol {f}}_{i}^{in}+{\boldsymbol {f}}_{i}^{ex}$，一部分是來自質點組內部的其它粒子的${\boldsymbol {f}}_{i}^{in}=\sum _{j\neq i}{\boldsymbol {f}}_{j\rightarrow i}$，其中${\boldsymbol {f}}_{j\rightarrow i}$是粒子$j$對粒子$i$的力；另一部分是來自質點組外部的${\boldsymbol {f}}_{i}^{ex}$。定義質點組的總動量 ${\boldsymbol {P}}\equiv \sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}$， 質點組受到的合外力${\boldsymbol {F}}\equiv \sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}^{ex}$， 於是 ${\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {P}}={\frac {d}{dt}}\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {p}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}=\sum _{i}({\boldsymbol {f}}_{i}^{in}+{\boldsymbol {f}}_{i}^{ex})=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}^{in}+\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}^{ex}=\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}^{ex}={\boldsymbol {F}}$

其中用到了 $\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{i}^{in}=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{j\rightarrow i}^{in}=\sum _{j}\sum _{i}{\boldsymbol {f}}_{j\rightarrow i}^{in}=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{i\rightarrow j}^{in}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}({\boldsymbol {f}}_{j\rightarrow i}^{in}+{\boldsymbol {f}}_{i\rightarrow j}^{in})=0$

因此質點組的總動量的變化率與合外力成正比。

質點組的總動量可以寫成如下形式 ${\boldsymbol {P}}=M\cdot {\frac {\boldsymbol {P}}{M}}=M\cdot {\frac {\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}}{M}}=M{\frac {\sum _{i}m_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}}{M}}=M{\frac {\sum _{i}m_{i}(d/dt){\boldsymbol {r}}_{i}}{M}}=M{\frac {d}{dt}}{\frac {\sum _{i}m_{i}{\boldsymbol {r}}_{i}}{M}}=M{\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {r}}_{C}=M{\boldsymbol {v}}_{C}$

其中我們引入質心的定義 ${\boldsymbol {r}}_{C}\equiv {\frac {\sum _{i}m_{i}{\boldsymbol {r}}_{i}}{M}}$

$M=\sum _{i}m_{i}$是質點組的總質量。

質心速度 ${\boldsymbol {v}}_{C}\equiv {\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {r}}_{C}$