基础力学/运动的描述

位移与路程

称初末位置矢量之差为位移。比如，某质点的运动学方程为r(t)；则从t₀时刻开始，设其于时间Δt内的位移为Δr，则有：

$\mathbf {\Delta r} =\mathbf {r} (t_{0}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{0})$

或言，位移为位置矢量的增量。我们同样可以写出位移的正交分解式：

${\begin{aligned}\mathbf {\Delta r} &=\mathbf {r} (t_{0}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{0})\\&=[x(t_{0}+\Delta t)\mathbf {i} +y(t_{0}+\Delta t)\mathbf {j} +z(t_{0}+\Delta t)\mathbf {k} ]-[x(t_{0})\mathbf {i} +y(t_{0})\mathbf {j} +z(t_{0})\mathbf {k} ]\\&=[x(t_{0}+\Delta t)-x(t_{0})]\mathbf {i} +[y(t_{0}+\Delta t)-y(t_{0})]\mathbf {j} +[z(t_{0}+\Delta t)-z(t_{0})]\mathbf {k} \\&=\Delta x\mathbf {i} +\Delta y\mathbf {j} +\Delta z\mathbf {k} \end{aligned}}$

其中i、j、k分别为x轴、y轴、z轴上的单位矢量。上式说明位移可由位置坐标的增量计算。

位移是矢量，它描述了运动的总体效果，只与质点的起末位置有关。一个常用的例子是，运动员在400米跑道上跑了两圈后回到起点，这时他的位移是0。要描述质点运动轨迹的长度，必须使用路程这个概念。

速度与加速度

要全面地描述质点的运动，还应引入两个概念：速度与加速度。

《水经注》中描述长江在三峡水流湍急时用“或王命急宣，有时朝发白帝，暮到江陵。”来形容。文中的以船航行时间之短（仅在朝暮之间），及航行起末位置间隔长（从白帝到江陵）来突出江水流速之快。在运动学中，我们以位移与时间的比值来定义平均速度，记作${\overline {\mathbf {v} }}$：

${\overline {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {\Delta r} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {r} (t_{0}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{0})}{\Delta t}}$

平均速度这个概念可以描述一段时间内位移变化的大小和方向，而对该段时间内的运动状态的描述却是模糊的。

显然，将测量平均速度的时间间隔的Δt取得越小，对质点的运动状态便描述得就越精确。这里我们引入极限的概念。当Δt→0时，${\overline {\mathbf {v} }}$趋近于某个定值，我们称它为瞬时速度，记作v。瞬时速度能精确刻画某时刻质点的速度，它的大小我们称为速率。

以上定义用数学语言的描述如下：

$\mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\overline {\mathbf {v} }}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {\Delta r} }{\Delta t}}$

有没有看到熟悉的数学形式？

所以瞬时速度等于位置矢量关于时间的函数的导函数，也就是：

$\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$

类似于速度的概念，我们用加速度来描述速度随时间的变化率；定义速度与时间的比值为平均加速度，记作${\overline {\mathbf {a} }}$：

${\overline {\mathbf {a} }}={\frac {\mathbf {\Delta v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} (t_{0}+\Delta t)-\mathbf {v} (t_{0})}{\Delta t}}$

同理可得到瞬时加速度的定义：

$\mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\overline {\mathbf {a} }}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {\Delta v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

于是可证，瞬时加速度等于速度关于时间的函数的导函数。

又有：

$\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$

于是可得：

$\mathbf {a} ={\ddot {\mathbf {r} }}(t)={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

也就是说，瞬时加速度等于位置矢量关于时间的函数的二阶导数。

上面将矢量引入函数并求其导数。矢量函数的导数既有大小又有方向，它们的大小即是它们的模长，而瞬时速度与瞬时加速度的方向沿质点运动轨迹质点处的切线并指向质点的运动方向。

速度（v）与加速度（a）在空间直角坐标系Oxyz中的正交分解式为：

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {v} &=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} \\\mathbf {a} &=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \end{alignedat}}$

对上一节课程得到的，位置矢量关于时间的函数的正交分解式进行求导和二次求导，注意单位矢量i、j、k为常量，可得：

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {v} &={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {dx}{dt}}\mathbf {i} +{\frac {dy}{dt}}\mathbf {j} +{\frac {dz}{dt}}\mathbf {k} \\\mathbf {a} &={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {dv_{x}}{dt}}\mathbf {i} +{\frac {dv_{y}}{dt}}\mathbf {j} +{\frac {dv_{z}}{dt}}\mathbf {k} \end{alignedat}}$

四式对比，可得：

${\begin{alignedat}{2}v_{x}&={\frac {dx}{dt}},&v_{y}&={\frac {dy}{dt}},&v_{z}&={\frac {dz}{dt}}.\\a_{x}&={\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad &a_{y}&={\frac {dv_{y}}{dt}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\quad &a_{z}&={\frac {dv_{z}}{dt}}={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.\end{alignedat}}$

所以通过质点的运动学方程可以得到质点在任意时刻的位置、速度和加速度。因此，运动学方程是运动学的核心。