基礎力學/運動的描述

位移與路程

稱初末位置向量之差為位移。比如，某質點的運動學方程為r(t)；則從t₀時刻開始，設其於時間Δt內的位移為Δr，則有：

$\mathbf {\Delta r} =\mathbf {r} (t_{0}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{0})$

或言，位移為位置向量的增量。我們同樣可以寫出位移的正交分解式：

${\begin{aligned}\mathbf {\Delta r} &=\mathbf {r} (t_{0}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{0})\\&=[x(t_{0}+\Delta t)\mathbf {i} +y(t_{0}+\Delta t)\mathbf {j} +z(t_{0}+\Delta t)\mathbf {k} ]-[x(t_{0})\mathbf {i} +y(t_{0})\mathbf {j} +z(t_{0})\mathbf {k} ]\\&=[x(t_{0}+\Delta t)-x(t_{0})]\mathbf {i} +[y(t_{0}+\Delta t)-y(t_{0})]\mathbf {j} +[z(t_{0}+\Delta t)-z(t_{0})]\mathbf {k} \\&=\Delta x\mathbf {i} +\Delta y\mathbf {j} +\Delta z\mathbf {k} \end{aligned}}$

其中i、j、k分別為x軸、y軸、z軸上的單位向量。上式說明位移可由位置坐標的增量計算。

位移是向量，它描述了運動的總體效果，只與質點的起末位置有關。一個常用的例子是，運動員在400米跑道上跑了兩圈後回到起點，這時他的位移是0。要描述質點運動軌跡的長度，必須使用路程這個概念。

速度與加速度

要全面地描述質點的運動，還應引入兩個概念：速度與加速度。

《水經注》中描述長江在三峽水流湍急時用「或王命急宣，有時朝發白帝，暮到江陵。」來形容。文中的以船航行時間之短（僅在朝暮之間），及航行起末位置間隔長（從白帝到江陵）來突出江水流速之快。在運動學中，我們以位移與時間的比值來定義平均速度，記作${\overline {\mathbf {v} }}$：

${\overline {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {\Delta r} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {r} (t_{0}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{0})}{\Delta t}}$

平均速度這個概念可以描述一段時間內位移變化的大小和方向，而對該段時間內的運動狀態的描述卻是模糊的。

顯然，將測量平均速度的時間間隔的Δt取得越小，對質點的運動狀態便描述得就越精確。這裡我們引入極限的概念。當Δt→0時，${\overline {\mathbf {v} }}$趨近於某個定值，我們稱它為瞬時速度，記作v。瞬時速度能精確刻畫某時刻質點的速度，它的大小我們稱為速率。

以上定義用數學語言的描述如下：

$\mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\overline {\mathbf {v} }}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {\Delta r} }{\Delta t}}$

有沒有看到熟悉的數學形式？

所以瞬時速度等於位置向量關於時間的函數的導函數，也就是：

$\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$

類似於速度的概念，我們用加速度來描述速度隨時間的變化率；定義速度與時間的比值為平均加速度，記作${\overline {\mathbf {a} }}$：

${\overline {\mathbf {a} }}={\frac {\mathbf {\Delta v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} (t_{0}+\Delta t)-\mathbf {v} (t_{0})}{\Delta t}}$

同理可得到瞬時加速度的定義：

$\mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\overline {\mathbf {a} }}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {\Delta v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

於是可證，瞬時加速度等於速度關於時間的函數的導函數。

又有：

$\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}(t)={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$

於是可得：

$\mathbf {a} ={\ddot {\mathbf {r} }}(t)={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

也就是說，瞬時加速度等於位置向量關於時間的函數的二階導數。

上面將向量引入函數並求其導數。向量函數的導數既有大小又有方向，它們的大小即是它們的模長，而瞬時速度與瞬時加速度的方向沿質點運動軌跡質點處的切線並指向質點的運動方向。

速度（v）與加速度（a）在空間直角坐標系Oxyz中的正交分解式為：

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {v} &=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} \\\mathbf {a} &=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \end{alignedat}}$

對上一節課程得到的，位置向量關於時間的函數的正交分解式進行求導和二次求導，注意單位向量i、j、k為常量，可得：

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {v} &={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {dx}{dt}}\mathbf {i} +{\frac {dy}{dt}}\mathbf {j} +{\frac {dz}{dt}}\mathbf {k} \\\mathbf {a} &={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {dv_{x}}{dt}}\mathbf {i} +{\frac {dv_{y}}{dt}}\mathbf {j} +{\frac {dv_{z}}{dt}}\mathbf {k} \end{alignedat}}$

四式對比，可得：

${\begin{alignedat}{2}v_{x}&={\frac {dx}{dt}},&v_{y}&={\frac {dy}{dt}},&v_{z}&={\frac {dz}{dt}}.\\a_{x}&={\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\quad &a_{y}&={\frac {dv_{y}}{dt}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\quad &a_{z}&={\frac {dv_{z}}{dt}}={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.\end{alignedat}}$

所以通過質點的運動學方程可以得到質點在任意時刻的位置、速度和加速度。因此，運動學方程是運動學的核心。