我们知道直线段的长度怎么算:
。因此我们可以用直线逼近的方式来定义曲线的弧长。
定义: 曲线
在区间
的弧长为
,其中
为
的分割。若曲线可微,则我们可以得
。
若我们试著改变曲线参数,新参数
可微且严格递增,而
,我们对新的参数算弧长
。由此我们发现,曲线线段的弧长跟所取得曲线参数无关。
由于上述结果,我们可以对任意正则曲线取弧长参数
。若我们将
对
微分
,假如
也为弧长参数,则我们发现
;反过来说若
,则
是弧长参数,即是说弧长参数与切向量长度等于 1 是充分必要条件。由于此方便的特性,我们往后会常使用弧长参数来探讨曲线性质。