微分几何/弧长与弧长参数

我们知道直线段的长度怎么算： $L (\overline{A B}) = | (x_{A}, y_{A}, z_{A}) - (x_{B}, y_{B}, z_{B}) | = \sqrt{(x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2} + (z_{A} - z_{B})^{2}}$ 。因此我们可以用直线逼近的方式来定义曲线的弧长。

定义： 曲线 $𝜶$ 在区间 $[a, b] \subset I$ 的弧长为 $L (𝜶, [a, b]) = sup_{{t_{k}}_{n}} \sum_{k = 1}^{n} | 𝜶 (t_{k}) - 𝜶 (t_{k - 1}) |$ ，其中 ${t_{k}}_{n}$ 为 $[a, b]$ 的分割。若曲线可微，则我们可以得 $L (𝜶, [a, b]) = \int_{a}^{b} | 𝜶^{'} (t) | d t$ 。

若我们试着改变曲线参数，新参数 $u = u (t)$ 可微且严格递增，而 $𝜶_{u} (u (t)) = 𝜶 (t)$ ，我们对新的参数算弧长 $L (𝜶_{u}, [u (a), u (b)]) = \int_{u (a)}^{u (b)} | {𝜶_{u}}^{'} | d u = \int_{u (a)}^{u (b)} | 𝜶^{'} | | \frac{d t}{d u} | d u = \int_{u (a)}^{u (b)} | 𝜶^{'} | \frac{d t}{d u} d u = \int_{a}^{b} | 𝜶^{'} | d t = L (𝜶, [a, b])$ 。由此我们发现，曲线线段的弧长跟所取得曲线参数无关。

由于上述结果，我们可以对任意正则曲线取弧长参数 $s (t) = \int_{t_{0}}^{t} | 𝜶^{'} (t) | d t$ 。若我们将 $s$ 对 $t$ 微分 $\frac{d s}{d t} = | 𝜶^{'} (t) |$ ，假如 $t$ 也为弧长参数，则我们发现 $| 𝜶^{'} (t) | = \frac{d s}{d t} = 1$ ；反过来说若 $| 𝜶^{'} (t) | = 1$ ，则 $t = s + t_{0}$ 是弧长参数，即是说弧长参数与切向量长度等于 1 是充分必要条件。由于此方便的特性，我们往后会常使用弧长参数来探讨曲线性质。