微分幾何/弧長與弧長參數

我們知道直線段的長度怎麼算： $L({\overline {AB}})=\vert (x_{A},y_{A},z_{A})-(x_{B},y_{B},z_{B})\vert ={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}+(z_{A}-z_{B})^{2}}}$ 。因此我們可以用直線逼近的方式來定義曲線的弧長。

定義： 曲線 ${\boldsymbol {\alpha }}$ 在區間 $[a,b]\subset I$ 的弧長為 $L({\boldsymbol {\alpha }},[a,b])=\sup _{\lbrace t_{k}\rbrace _{n}}\sum _{k=1}^{n}\vert {\boldsymbol {\alpha }}(t_{k})-{\boldsymbol {\alpha }}(t_{k-1})\vert$ ，其中$\lbrace t_{k}\rbrace _{n}$為$[a,b]$的分割。若曲線可微，則我們可以得 $L({\boldsymbol {\alpha }},[a,b])=\int _{a}^{b}\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert \,dt$ 。

若我們試着改變曲線參數，新參數 $u=u(t)$ 可微且嚴格遞增，而 ${\boldsymbol {\alpha }}_{u}(u(t))={\boldsymbol {\alpha }}(t)$ ，我們對新的參數算弧長 $L({\boldsymbol {\alpha }}_{u},[u(a),u(b)])=\int _{u(a)}^{u(b)}\vert {\boldsymbol {\alpha }}_{u}^{\prime }\vert \,du=\int _{u(a)}^{u(b)}\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }\vert \vert {\frac {dt}{du}}\vert \,du=\int _{u(a)}^{u(b)}\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }\vert {\frac {dt}{du}}\,du=\int _{a}^{b}\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }\vert \,dt=L({\boldsymbol {\alpha }},[a,b])$ 。由此我們發現，曲線線段的弧長跟所取得曲線參數無關。

由於上述結果，我們可以對任意正則曲線取弧長參數 $s(t)=\int _{t_{0}}^{t}\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert \,dt$ 。若我們將 $s$ 對 $t$ 微分 ${\frac {ds}{dt}}=\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert$ ，假如 $t$ 也為弧長參數，則我們發現$\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert ={\frac {ds}{dt}}=1$ ；反過來說若 $\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert =1$ ，則 $t=s+t_{0}$ 是弧長參數，即是說弧長參數與切向量長度等於 1 是充分必要條件。由於此方便的特性，我們往後會常使用弧長參數來探討曲線性質。