微分幾何/弧長與弧長參數

我們知道直線段的長度怎麼算： $L (\overline{A B}) = | (x_{A}, y_{A}, z_{A}) - (x_{B}, y_{B}, z_{B}) | = \sqrt{(x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2} + (z_{A} - z_{B})^{2}}$ 。因此我們可以用直線逼近的方式來定義曲線的弧長。

定義： 曲線 $𝜶$ 在區間 $[a, b] \subset I$ 的弧長為 $L (𝜶, [a, b]) = sup_{{t_{k}}_{n}} \sum_{k = 1}^{n} | 𝜶 (t_{k}) - 𝜶 (t_{k - 1}) |$ ，其中 ${t_{k}}_{n}$ 為 $[a, b]$ 的分割。若曲線可微，則我們可以得 $L (𝜶, [a, b]) = \int_{a}^{b} | 𝜶^{'} (t) | d t$ 。

若我們試着改變曲線參數，新參數 $u = u (t)$ 可微且嚴格遞增，而 $𝜶_{u} (u (t)) = 𝜶 (t)$ ，我們對新的參數算弧長 $L (𝜶_{u}, [u (a), u (b)]) = \int_{u (a)}^{u (b)} | {𝜶_{u}}^{'} | d u = \int_{u (a)}^{u (b)} | 𝜶^{'} | | \frac{d t}{d u} | d u = \int_{u (a)}^{u (b)} | 𝜶^{'} | \frac{d t}{d u} d u = \int_{a}^{b} | 𝜶^{'} | d t = L (𝜶, [a, b])$ 。由此我們發現，曲線線段的弧長跟所取得曲線參數無關。

由於上述結果，我們可以對任意正則曲線取弧長參數 $s (t) = \int_{t_{0}}^{t} | 𝜶^{'} (t) | d t$ 。若我們將 $s$ 對 $t$ 微分 $\frac{d s}{d t} = | 𝜶^{'} (t) |$ ，假如 $t$ 也為弧長參數，則我們發現 $| 𝜶^{'} (t) | = \frac{d s}{d t} = 1$ ；反過來說若 $| 𝜶^{'} (t) | = 1$ ，則 $t = s + t_{0}$ 是弧長參數，即是說弧長參數與切向量長度等於 1 是充分必要條件。由於此方便的特性，我們往後會常使用弧長參數來探討曲線性質。