截长补短法

定义

在一个平面几何图形内，延长或截取某一条线段，使线段所在的三角形与平面内某一三角形成为全等三角形。

用法

证明两条线段的和差，80%的情况都要用截长补短法，20%的情况用常规方法。

例题

截长补短法例图

例1：如图1，正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45。求证：EF=DE+BF。

解：延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

从而可证得ADG≌ABF（SAS）。

从而可以得出∠GAD=∠FAB

因为∠GAD=∠FAB

所以∠GAF=90(等量代换)

因为∠GAF=90，∠EAF=45

所以∠GAE=∠EAF=45

从而△EAG≌△EAF（SAS）

所以EF=GE

=GD+DE

=BF+DE

例2：如图2，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数。

解：向AE方向延长AE，交BC的延长线于F。

因为平行，所以∠1=∠F

从而△AED≌△CEF

从而AB

=AD+BC

=CF+BC

=BF

因为等腰三角形三线合一，所以BE⊥AF，从而∠AEB=90

例3：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求证：AB+BD=AC。

证明：在AC上截取AE=AB，连接DE。

从而△ABD≌△AED（SAS）

从而BD=DE，∠B=∠3

因为∠B=2∠C

从而∠3=2∠C

而2∠C=∠4+∠C

所以∠C=∠4

已证明DE=CE，BD=CE

所以AB+BD=AC

例4：如图，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180。求证：CD=CB。

在AB上找一点E，使AE=AD，连接CE。

因为AC平分∠DAB

从而△ACD≌△ACE(SAS)

所以∠ADC=∠AEC

因为∠AEC+∠B=180，∠CEB+∠AEC=180

所以∠B=∠CEB

所以CE=CB

从而CD=CB