截長補短法

定義

在一個平面幾何圖形內，延長或截取某一條線段，使線段所在的三角形與平面內某一三角形成為全等三角形。

用法

證明兩條線段的和差，80%的情況都要用截長補短法，20%的情況用常規方法。

例題

截長補短法例圖

例1：如圖1，正方形ABCD中，點E在CD上，點F在BC上，∠EAF=45。求證：EF=DE+BF。

解：延長CD到點G，使得DG=BF，連接AG。

從而可證得ADG≌ABF（SAS）。

從而可以得出∠GAD=∠FAB

因為∠GAD=∠FAB

所以∠GAF=90(等量代換)

因為∠GAF=90，∠EAF=45

所以∠GAE=∠EAF=45

從而△EAG≌△EAF（SAS）

所以EF=GE

=GD+DE

=BF+DE

例2：如圖2，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中點，求∠AEB的度數。

解：向AE方向延長AE，交BC的延長線於F。

因為平行，所以∠1=∠F

從而△AED≌△CEF

從而AB

=AD+BC

=CF+BC

=BF

因為等腰三角形三線合一，所以BE⊥AF，從而∠AEB=90

例3：如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求證：AB+BD=AC。

證明：在AC上截取AE=AB，連接DE。

從而△ABD≌△AED（SAS）

從而BD=DE，∠B=∠3

因為∠B=2∠C

從而∠3=2∠C

而2∠C=∠4+∠C

所以∠C=∠4

已證明DE=CE，BD=CE

所以AB+BD=AC

例4：如圖，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180。求證：CD=CB。

在AB上找一點E，使AE=AD，連接CE。

因為AC平分∠DAB

從而△ACD≌△ACE(SAS)

所以∠ADC=∠AEC

因為∠AEC+∠B=180，∠CEB+∠AEC=180

所以∠B=∠CEB

所以CE=CB

從而CD=CB