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截長補短法

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定義

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在一個平面幾何圖形內,延長或截取某一條線段,使線段所在的三角形與平面內某一三角形成為全等三角形。

用法

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證明兩條線段的和差,80%的情況都要用截長補短法,20%的情況用常規方法。

例題

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截長補短法例圖

例1:如圖1,正方形ABCD中,點E在CD上,點F在BC上,∠EAF=45。求證:EF=DE+BF。

解:延長CD到點G,使得DG=BF,連接AG。

從而可證得ADG≌ABF(SAS)。

從而可以得出∠GAD=∠FAB

因為∠GAD=∠FAB

所以∠GAF=90(等量代換)

因為∠GAF=90,∠EAF=45

所以∠GAE=∠EAF=45

從而△EAG≌△EAF(SAS)

所以EF=GE

=GD+DE

=BF+DE

例2:如圖2,已知AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中點,求∠AEB的度數。

解:向AE方向延長AE,交BC的延長線於F。

因為平行,所以∠1=∠F

從而△AED≌△CEF

從而AB

=AD+BC

=CF+BC

=BF

因為等腰三角形三線合一,所以BE⊥AF,從而∠AEB=90

例3:如圖,在△ABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC。求證:AB+BD=AC。

證明:在AC上截取AE=AB,連接DE。

從而△ABD≌△AED(SAS)

從而BD=DE,∠B=∠3

因為∠B=2∠C

從而∠3=2∠C

而2∠C=∠4+∠C

所以∠C=∠4

已證明DE=CE,BD=CE

所以AB+BD=AC

例4:如圖,AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180。求證:CD=CB。

在AB上找一點E,使AE=AD,連接CE。

因為AC平分∠DAB

從而△ACD≌△ACE(SAS)

所以∠ADC=∠AEC

因為∠AEC+∠B=180,∠CEB+∠AEC=180

所以∠B=∠CEB

所以CE=CB

從而CD=CB