线性代数/矩阵的运算与变换

矩阵的性质

性质

假设 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 是三个矩阵，且 $k$ 、 $l$ 是两个实数，则对于下列各式而言，只要矩阵的阶数能使等号的其中一边是有意义的，那么等号的另一边也有意义，且等号会成立。

加法交换律： $A+B=B+A$

加法结合律： $(A+B)+C=A+(B+C)$

系数积结合律： $r(sA)=(rs)A$

系数积分配律： $(k+l)A=kA+lA$

乘法结合律： $(AB)C=A(BC)$

左乘分配律： $A(B+C)=AB+AC$

右乘分配律： $(A+B)C=AB+BC$

左乘系数积结合律： $(rA)B=r(AB)$

右乘系数积结合律： $A(rB)=r(AB)$

注意到如果 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 都是 $n$ 阶方阵，则上面的式子都是有意义的。

证明

本书将上述性质的证明留给读者做练习，对于感到有困难的读者，可以将下面证明乘法结合律的证明做为示范来参照学习。

假设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵、 $B$ 是一个 $n\times p$ 矩阵、 $C$ 是一个 $p\times q$ 矩阵，则直接根据定义有

$((AB)C)_{ij}=\sum _{l=1}^{p}(AB)_{il}C_{lj}=\sum _{l=1}^{p}(\sum _{k=1}^{n}A_{ik}B_{kl})C_{lj}=\sum _{l=1}^{p}\sum _{k=1}^{n}(A_{ik}B_{kl}C_{lj})$

特殊方阵

零方阵

定义

$O_{n}=[0]_{n\times n}={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &0\end{bmatrix}}$

是所以元素都是 0 的 $n$ 阶方阵，称为零方阵。使用符号 O 以及取名为零方阵是因为 $O_{n}$ 有如同实数 0 的性质：对所有 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $A+O_{n}=A$ 及 $AO_{n}=O_{n}A=O_{n}$ 。

单位方阵

定义

$I_{n}=[\delta _{ij}]_{n\times n}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}$

是所有对角线元素都是 1、非对角线元素都是 0 的 $n$ 阶方阵，其中定义式中的 $\delta _{ij}$ 是克罗内克δ函数，也就是

$\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{ if }}i=j\\0&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}$ 。

单位方阵使用符号 I 以及取名为零方阵是因为 $O_{n}$ 有如同实数 1 的性质：对所有 $n$ 阶方阵 $A$ 都有 $AI_{n}=I_{n}A=A$ 。

环性质

上述矩阵性质再加上零矩阵 $O_{n}$ 、单位矩阵 $I_{n}$ 使得包含所有 n 阶方阵的集合是一个可交换环。这些是抽象代数的内容，在此仅仅做一个引子，有兴趣的读者可以前往翻阅。

向量

在上一节中，方阵的重要性已被看到，本节将介绍线性代数经常研究的另一物件：向量。

中学数学中或都或少有讲到一些向量的定义以及性质，该处向量的定是在二维或三维空间中选取两点，分别做为起点和终点，记做 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2})$ 或 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ 。因此，在一般的 $n$ 维向被定义做 $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ，注意到后文将不在向量标记键号 ${\vec {}}$ ，因为后续会有更加抽象的物件也被视为向量。另外，一个 $n$ 维向量也被视为是一个 $n\times 1$ 的矩阵，也就是记做

x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}

因此，要特别注意，在本教科书中 $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ 和 ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$ 代表的是不同的矩阵，前者是 $n\times 1$ 矩阵，而后者是 $1\times n$ 矩阵。然而，有些教科书或论文会将前述二者混用、讹用，因此仍需注意前前后文以免产生误解。