線性代數/矩陣的運算與變換

矩陣的性質

性質

假設 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 是三個矩陣，且 $k$ 、 $l$ 是兩個實數，則對於下列各式而言，只要矩陣的階數能使等號的其中一邊是有意義的，那麼等號的另一邊也有意義，且等號會成立。

加法交換律： $A+B=B+A$

加法結合律： $(A+B)+C=A+(B+C)$

係數積結合律： $r(sA)=(rs)A$

係數積分配律： $(k+l)A=kA+lA$

乘法結合律： $(AB)C=A(BC)$

左乘分配律： $A(B+C)=AB+AC$

右乘分配律： $(A+B)C=AB+BC$

左乘係數積結合律： $(rA)B=r(AB)$

右乘係數積結合律： $A(rB)=r(AB)$

注意到如果 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 都是 $n$ 階方陣，則上面的式子都是有意義的。

證明

本書將上述性質的證明留給讀者做練習，對於感到有困難的讀者，可以將下面證明乘法結合律的證明做為示範來參照學習。

假設 $A$ 是一個 $m\times n$ 矩陣、 $B$ 是一個 $n\times p$ 矩陣、 $C$ 是一個 $p\times q$ 矩陣，則直接根據定義有

$((AB)C)_{ij}=\sum _{l=1}^{p}(AB)_{il}C_{lj}=\sum _{l=1}^{p}(\sum _{k=1}^{n}A_{ik}B_{kl})C_{lj}=\sum _{l=1}^{p}\sum _{k=1}^{n}(A_{ik}B_{kl}C_{lj})$

特殊方陣

零方陣

定義

$O_{n}=[0]_{n\times n}={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &0\end{bmatrix}}$

是所以元素都是 0 的 $n$ 階方陣，稱為零方陣。使用符號 O 以及取名為零方陣是因為 $O_{n}$ 有如同實數 0 的性質：對所有 $n$ 階方陣 $A$ 有 $A+O_{n}=A$ 及 $AO_{n}=O_{n}A=O_{n}$ 。

單位方陣

定義

$I_{n}=[\delta _{ij}]_{n\times n}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}$

是所有對角線元素都是 1、非對角線元素都是 0 的 $n$ 階方陣，其中定義式中的 $\delta _{ij}$ 是克羅內克δ函數，也就是

$\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{ if }}i=j\\0&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}$ 。

單位方陣使用符號 I 以及取名為零方陣是因為 $O_{n}$ 有如同實數 1 的性質：對所有 $n$ 階方陣 $A$ 都有 $AI_{n}=I_{n}A=A$ 。

環性質

上述矩陣性質再加上零矩陣 $O_{n}$ 、單位矩陣 $I_{n}$ 使得包含所有 n 階方陣的集合是一個可交換環。這些是抽象代數的內容，在此僅僅做一個引子，有興趣的讀者可以前往翻閱。

向量

在上一節中，方陣的重要性已被看到，本節將介紹線性代數經常研究的另一物件：向量。

中學數學中或都或少有講到一些向量的定義以及性質，該處向量的定是在二維或三維空間中選取兩點，分別做為起點和終點，記做 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2})$ 或 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ 。因此，在一般的 $n$ 維向被定義做 $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ，注意到後文將不在向量標記鍵號 ${\vec {}}$ ，因為後續會有更加抽象的物件也被視為向量。另外，一個 $n$ 維向量也被視為是一個 $n\times 1$ 的矩陣，也就是記做

x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}

因此，要特別注意，在本教科書中 $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ 和 ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$ 代表的是不同的矩陣，前者是 $n\times 1$ 矩陣，而後者是 $1\times n$ 矩陣。然而，有些教科書或論文會將前述二者混用、訛用，因此仍需注意前前後文以免產生誤解。