线性代数/矩阵的运算与变换

矩陣的性質

性質

假設 $A$、$B$ 和 $C$ 是三個矩陣，且 $k$、$l$ 是兩個實數，則對於下列各式而言，只要矩陣的階數能使等號的其中一邊是有意義的，那麼等號的另一邊也有意義，且等號會成立。

加法交換律：$A+B=B+A$

加法結合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$

系數積結合律：$r(sA)=(rs)A$

系數積分配律：$(k+l)A=kA+lA$

乘法結合律：$(AB)C=A(BC)$

左乘分配律：$A(B+C)=AB+AC$

右乘分配律：$(A+B)C=AB+BC$

左乘系數積結合律：$(rA)B=r(AB)$

右乘系數積結合律：$A(rB)=r(AB)$

注意到如果 $A$、$B$ 和 $C$ 都是 $n$ 階方陣，則上面的式子都是有意義的。

證明

本書將上述性質的證明留給讀者做練習，對於感到有困難的讀者，可以將下面證明乘法結合律的證明做為示範來參照學習。

假設 $A$ 是一個 $m\times n$ 矩陣、$B$ 是一個 $n\times p$ 矩陣、$C$ 是一個 $p\times q$ 矩陣，則直接根據定義有

$((AB)C{)}_{ij}=\sum _{l=1}^p(AB{)}_{il}{C}_{lj}=\sum _{l=1}^p(\sum _{k=1}^n{A}_{ik}{B}_{kl})C_{lj}=\sum _{l=1}^p\sum _{k=1}^n(A_{ik}{B}_{kl}{C}_{lj})$

特殊方陣

零方陣

定義

$O_n=[0{]}_{n\times n}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right]$

是所以元素都是 0 的 $n$ 階方陣，稱為零方陣。使用符號 O 以及取名為零方陣是因為 $O_n$ 有如同實數 0 的性質：對所有 $n$ 階方陣 $A$ 有 $A+O_n=A$ 及 $A{O}_n=O_{n}A=O_n$。

單位方陣

定義

$I_n=[{\delta }_{ij}{]}_{n\times n}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right]$

是所有對角線元素都是 1、非對角線元素都是 0 的 $n$ 階方陣，其中定義式中的 ${\delta }_{ij}$ 是克羅內克δ函數，也就是

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& \text{ if }i=j\\ 0& \text{ if }i\ne j\end{array}$。

單位方陣使用符號 I 以及取名為零方陣是因為 $O_n$ 有如同實數 1 的性質：對所有 $n$ 階方陣 $A$ 都有 $A{I}_n=I_{n}A=A$。

環性質

上述矩陣性質再加上零矩陣 $O_n$、單位矩陣 $I_n$ 使得包含所有 n 階方陣的集合是一個可交換環。這些是抽象代數的內容，在此僅僅做一個引子，有興趣的讀者可以前往翻閱。

向量

在上一節中，方陣的重要性已被看到，本節將介紹線性代數經常研究的另一物件：向量。

中學數學中或都或少有講到一些向量的定義以及性質，該處向量的定是在二維或三維空間中選取兩點，分別做為起點和終點，記做 $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2)$ 或 $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3)$。因此，在一般的 $n$ 維向被定義做 $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，注意到後文將不在向量標記鍵號 $\overrightarrow{}$ ，因為後續會有更加抽象的物件也被視為向量。另外，一個 $n$ 維向量也被視為是一個 $n\times 1$ 的矩陣，也就是記做

$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$

因此，要特別注意，在本教科書中 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 和 $\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]$ 代表的是不同的矩陣，前者是 $n\times 1$ 矩陣，而後者是 $1\times n$ 矩陣。然而，有些教科書或論文會將前述二者混用、訛用，因此仍需注意前前後文以免產生誤解。

回顧一次聯主方程式與增廣矩陣一節中，一個 n 元一次聯立方程式有以下形式

$\{\begin{array}{cc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n& =b_2\\ & ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}$

令

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]$、$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$、$b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$

分別是 $m\times n$ 矩陣、$n$ 維向量、$m$ 維向量，那麼在本教科書的記號下，原本的一元 n 次聯立方程式會被改寫成解出

$Ax=b$

而$A$、$b$ 是已知數，$x$ 是未知數。要特別注意的是此時的增廣矩陣是$\left[\begin{array}{cc}A& b\end{array}\right]$，跟一次聯主方程式與增廣矩陣中的符號不要產生混淆了。

另一方面，一個 $m\times n$ 的矩陣$A$ 乘上一個$n$ 維向量 $x$ 會得到一個 $m$ 維向量 $y$ 滿足 $y=Ax$，換句話說，一個矩陣可以被視為一個將向量映射到向量的函數，而在後面的章節中這個函數會成為定義線性變換以及向量空間的動機。