讯号与系统/能量与功率

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原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
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原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

能量与功率

若 x(t) 为能量讯号，其总能量：

$E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|}^{2}\,dt$

若 x(t) 为功率讯号，其平均功率：

$P_{x}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}{|x(t)|}^{2}\,dt$

若 x(t) 为周期讯号且基本周期为，其平均功率：

$P_{x}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{}{|x(t)|}^{2}\,dt$

上述公式是由时域(time-domain)求讯号的能量及功率。

在频域求讯号能量

(1)由时域求能量：

$E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|}^{2}\,dt$

(2)根据傅立叶逆转换公式

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\,df$

(3)将(2)代入(1)

$E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|}^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)x^{*}(t)\,dt$ = ( $\Rightarrow$ 积分顺序对调) $\int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\,df]x^{*}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)[\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(t)e^{j2\pi ft}\,dt]\,df=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)X^{*}(f)\,df=\int _{-\infty }^{\infty }{|X(f)|}^{2}\,df$

(4)故讯号的能量

$E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|}^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }{|X(f)|}^{2}\,df$ ( $\Rightarrow$ 称为Parseval定理)

能量密度频谱

$E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{|X(f)|}^{2}\,df$

定义:能量密度频谱(energy density spectrum)

$G_{x}(f)\equiv {|X(f)|}^{2}$ 其中 $X(f)$ = $\Im$ { $x(t)$ }

$G_{x}(f)$ 描述讯号能量在频谱上的分布情形。

讯号 x(t) 在频带范围 $f_{1}<f_{2}<f_{3}$ 内的总能量为

$E_{1}2=\int _{-f1}^{f2}G_{x}(f)\,df+\int _{f2}^{f1}G_{x}(f)\,df$

自相关函数

讯号 x(t) 的自相关函数(autocorrelation function)

$r_{x}(\tau )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }x(t)x^{*}(t+\tau )\,dt=x(\tau )*x^{*}(-\tau )$

$r_{x}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)x^{*}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|}^{2}\,dt=E_{x}$

x(t)的自相关函数 $r_{x}(\tau )$ 取傅立叶转换可得x(t)的能量密度频谱 $G_{x}(f)$

在频域求平均功率

已知一功率讯号x(t) ，定义 $x_{T}(t)=x(t)rect({\frac {t}{T}})$ 如下图：

$x_{T}(t)$ 为一能量讯号，

$_{T}(t)\leftrightarrow X_{T}(f)$

原功率讯号x(t)的平均功率

$P_{x}=\lim _{T\to \infty }{\frac {E_{xT}}{T}}$ 其中 $E_{xT}$ 为 $x_{T}(t)$ 的总能量

= $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }{|x_{T}(t)|}^{2}\,dt=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }{|X_{T}(f)|}^{2}\,df=$ $\int _{-\infty }^{\infty }$ $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}{|X_{T}(f)|}^{2}df$

x(t)的功率密度频谱 $S_{x}(f)$ 定义如下：

$S_{x}(f)\equiv \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}{|X_{T}(f)|}^{2}$

功率讯号X(t)在频带范围 $f_{1}<f_{2}<f_{3}$ 内的平均功率有

$R_{12}=\int _{-f_{2}}^{-f_{1}}S_{x}(f)\,df+\int _{f_{2}}^{f_{1}}S_{x}(f)\,df$

周期讯号的功率密度频谱

周期讯号x(t) ，基本周期 $T_{0}$ ，

$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi f_{0}t}$ 其中 $f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$

根据第四章所提周期讯号的Parseval定理知

$P_{x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|X_{n}|}^{2}$

故x(t)的功率密度频谱

$S_{x}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|X_{n}|}^{2}\delta (f-nf_{0})$

注意：第四章所讲周期讯号的功率频谱为线频谱；本处为功率密度频谱，故用脉冲函数表示。

功率讯号的相关函数

比照能量讯号，定义功率讯号的自相关函数(autocorrelation function)如下：

$r_{x}(\tau )\equiv \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt$

当 $\tau =0$

$r_{x}(0)\equiv \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}x^{*}(t)x(t)\,dt=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}{|X_{n}|}^{2}\,dt=P_{x}...r_{x}(0)$ 代表讯号的平均功率

x(t)的功率密度频谱

$S_{x}(f)\equiv$ $\Im$ { $r_{x}(\tau )$ } $\Rightarrow r_{x}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{j2\pi f\tau }\,df\Rightarrow r_{x}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)\,df=P_{x}$

周期讯号的自相关函数

周期讯号为功率讯号，其自相关函数

$r_{x}(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{kT_{0}}}\int _{\frac {-kT_{0}}{2}}^{\frac {kT_{0}}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt$ ( $\gets T_{0}$ 为基本周期) = ( $\Rightarrow$ x(t)为周期讯号，积分k个周期相当于积分1个周期再乘上k倍) $\lim _{k\to \infty }{\frac {k}{kT_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt$ = ( $\Rightarrow$ 式子中已经没有k ，故 $\lim _{k\to \infty }$ 可略去。) ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt$

周期讯号的功率密度频谱

周期讯号x(t)，基本周期 $T_{0}$

$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi nf_{0}}$ 其中 $f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$

$r_{x}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}[\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}e^{-j2\pi nf_{0}t}][\sum _{m=-\infty }^{\infty }X_{m}e^{j2\pi mf_{0}(t+\tau )}]\,dt$

$={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}X_{m}e^{j2\pi mf_{0}\tau }e^{j2\pi (m-n)f_{0}t}\,dt$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}X_{m}e^{j2\pi mf_{0}\tau }{\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}e^{j2\pi (m-n)f_{0}t}\,dt$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|X_{n}|}^{2}e^{j2\pi nf_{0}\tau }$

$={\begin{cases}1,&{\mbox{m=n}}\\o,&other\end{cases}}$

$S_{x}(f)$ = $\Im$ { $r_{x}(\tau )$ } = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|X_{n}|}^{2}\delta (f-nf_{0})$

参考资料

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