訊號與系統/能量與功率

1. 臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 當前用字模式下顯示為→方向導數
2. 臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 當前用字模式下顯示為→積分形式
3. 臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 當前用字模式下顯示為→微分形式
4. 臺灣：約束；大陆：约束； 當前用字模式下顯示為→約束
5. 原始語言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 當前用字模式下顯示為→鮑萊耳
6. 原始語言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 當前用字模式下顯示為→克里斯多福
7. 原始語言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 當前用字模式下顯示為→克里福
8. 原始語言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 當前用字模式下顯示為→埃拉托斯特尼
9. 原始語言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 當前用字模式下顯示為→傅立葉
10. 原始語言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 當前用字模式下顯示為→弗比尼斯
11. 原始語言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 當前用字模式下顯示為→郝斯多夫
12. 原始語言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 當前用字模式下顯示為→勒維奇維塔
13. 原始語言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 當前用字模式下顯示為→羅必達
14. 原始語言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 當前用字模式下顯示為→馬可夫
15. 原始語言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 當前用字模式下顯示為→卜瓦松
16. 原始語言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 當前用字模式下顯示為→勒壤得
17. 原始語言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 當前用字模式下顯示為→施瓦次
18. 原始語言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 當前用字模式下顯示為→艾禮富
19. 原始語言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 當前用字模式下顯示為→艾禮富數
20. 原始語言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 當前用字模式下顯示為→代數相依
21. 原始語言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 當前用字模式下顯示為→代數獨立
22. 原始語言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 當前用字模式下顯示為→代數閉體
23. 原始語言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 當前用字模式下顯示為→自守式
24. 原始語言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 當前用字模式下顯示為→對射
25. 原始語言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 當前用字模式下顯示為→束
26. 原始語言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 當前用字模式下顯示為→中央極限定理
27. 原始語言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 當前用字模式下顯示為→古典群
28. 原始語言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 當前用字模式下顯示為→閉圖定理
29. 原始語言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 當前用字模式下顯示為→餘調
30. 原始語言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 當前用字模式下顯示為→複數平面
31. 原始語言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 當前用字模式下顯示為→複指數
32. 原始語言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 當前用字模式下顯示為→複結構
33. 原始語言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 當前用字模式下顯示為→互質
34. 原始語言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 當前用字模式下顯示為→共變異數
35. 原始語言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 當前用字模式下顯示為→分圓體
36. 原始語言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 當前用字模式下顯示為→導來代數
37. 原始語言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 當前用字模式下顯示為→導來函子
38. 原始語言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 當前用字模式下顯示為→導來集
39. 原始語言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 當前用字模式下顯示為→受制收斂定理
40. 原始語言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 當前用字模式下顯示為→固有函數
41. 原始語言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 當前用字模式下顯示為→擴張體
42. 原始語言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 當前用字模式下顯示為→費氏數列
43. 原始語言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 當前用字模式下顯示為→體擴張
44. 原始語言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 當前用字模式下顯示為→體論
45. 原始語言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 當前用字模式下顯示為→有限體
46. 原始語言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 當前用字模式下顯示為→碎形
47. 原始語言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 當前用字模式下顯示為→大域體
48. 原始語言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 當前用字模式下顯示為→線性相依
49. 原始語言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 當前用字模式下顯示為→線性獨立
50. 原始語言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 當前用字模式下顯示為→局部體
51. 原始語言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 當前用字模式下顯示為→單位元素
52. 原始語言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 當前用字模式下顯示為→反元素
53. 原始語言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 當前用字模式下顯示為→最小平方
54. 原始語言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 當前用字模式下顯示為→馬可夫鏈
55. 原始語言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 當前用字模式下顯示為→均值定理
56. 原始語言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 當前用字模式下顯示為→數體
57. 原始語言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 當前用字模式下顯示為→範數
58. 原始語言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 當前用字模式下顯示為→賦範
59. 原始語言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 當前用字模式下顯示為→有序體
60. 原始語言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 當前用字模式下顯示為→正交補餘
61. 原始語言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 當前用字模式下顯示為→最佳化
62. 原始語言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 當前用字模式下顯示為→路徑連通
63. 原始語言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 當前用字模式下顯示為→質理想
64. 原始語言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 當前用字模式下顯示為→質數
65. 原始語言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 當前用字模式下顯示為→質環
66. 原始語言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 當前用字模式下顯示為→機率
67. 原始語言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 當前用字模式下顯示為→二次體
68. 原始語言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 當前用字模式下顯示為→實數軸
69. 原始語言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 當前用字模式下顯示為→實閉體
70. 原始語言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 當前用字模式下顯示為→遞迴
71. 原始語言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 當前用字模式下顯示為→遞迴關係
72. 原始語言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 當前用字模式下顯示為→純量
73. 原始語言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 當前用字模式下顯示為→純量曲率
74. 原始語言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 當前用字模式下顯示為→和式號
75. 原始語言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 當前用字模式下顯示為→單純群
76. 原始語言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 當前用字模式下顯示為→單純李氏群
77. 原始語言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 當前用字模式下顯示為→單體
78. 原始語言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 當前用字模式下顯示為→單體複形
79. 原始語言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 當前用字模式下顯示為→奇異點
80. 原始語言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 當前用字模式下顯示為→分裂體
81. 原始語言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 當前用字模式下顯示為→子體
82. 原始語言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 當前用字模式下顯示為→切線束
83. 原始語言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 當前用字模式下顯示為→均勻有界原理
84. 原始語言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 當前用字模式下顯示為→均勻連續
85. 原始語言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 當前用字模式下顯示為→均勻收斂
86. 原始語言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 當前用字模式下顯示為→均勻範數
87. 原始語言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 當前用字模式下顯示為→均勻空間
88. 原始語言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 當前用字模式下顯示為→聯集
89. 原始語言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 當前用字模式下顯示為→么正空間
90. 原始語言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 當前用字模式下顯示為→么正群
91. 原始語言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 當前用字模式下顯示為→么正矩陣
92. 原始語言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 當前用字模式下顯示為→變異數
93. 原始語言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 當前用字模式下顯示為→貝氏定理

能量與功率

若 x(t) 為能量訊號，其總能量：

$E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|}^{2}\,dt$

若 x(t) 為功率訊號，其平均功率：

$P_{x}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}{|x(t)|}^{2}\,dt$

若 x(t) 為週期訊號且基本週期為 ，其平均功率：

$P_{x}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{}{|x(t)|}^{2}\,dt$

上述公式是由時域(time-domain)求訊號的能量及功率。

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在頻域求訊號能量

(1)由時域求能量：

$E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|}^{2}\,dt$

(2)根據傅立葉逆轉換公式

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\,df$

(3)將(2)代入(1)

$E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|}^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)x^{*}(t)\,dt$ = ($\Rightarrow$積分順序對調)$\int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\,df]x^{*}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)[\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(t)e^{j2\pi ft}\,dt]\,df=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)X^{*}(f)\,df=\int _{-\infty }^{\infty }{|X(f)|}^{2}\,df$

(4)故訊號的能量

$E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|}^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }{|X(f)|}^{2}\,df$($\Rightarrow$稱為Parseval定理)

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能量密度頻譜

$E_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }{|X(f)|}^{2}\,df$

定義:能量密度頻譜(energy density spectrum)

$G_{x}(f)\equiv {|X(f)|}^{2}$其中$X(f)$ = $\Im$ {$x(t)$}

$G_{x}(f)$描述訊號能量在頻譜上的分佈情形。

訊號 x(t) 在頻帶範圍$f_{1}<f_{2}<f_{3}$內的總能量為

$E_{1}2=\int _{-f1}^{f2}G_{x}(f)\,df+\int _{f2}^{f1}G_{x}(f)\,df$

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相關函數

假設存在函數$r_{x}(\tau )$使得

$r_{x}(\tau )\leftrightarrow G_{x}(f)\Rightarrow r_{x}(\tau )=$$\Im ^{-1}$ {$G_{x}(f)$} = $\Im ^{-1}$ {$X(f)|^{2}$} = $\Im ^{-1}$ {$X(f)X^{*}(f)$} =($\Rightarrow$旋積定理)$\Im ^{-1}$ {$X(f)$} * $\Im ^{-1}$ {$X^{*}(f)$} =($\Rightarrow$共軛複數及時間反轉定理) $x(\tau )*x^{*}(-\tau )$ = $\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )x^{*}(\lambda -\tau )\,d\lambda$ =($\Rightarrow$令$\lambda -\tau =t,d\lambda =dt$)$\int _{-\infty }^{\infty }x(t)x^{*}(t+\tau )\,dt$

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自相關函數

訊號 x(t) 的自相關函數(autocorrelation function)

$r_{x}(\tau )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }x(t)x^{*}(t+\tau )\,dt=x(\tau )*x^{*}(-\tau )$

$r_{x}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)x^{*}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }{|x(t)|}^{2}\,dt=E_{x}$

x(t)的自相關函數$r_{x}(\tau )$ 取傅立葉轉換可得x(t)的能量密度頻譜$G_{x}(f)$

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在頻域求平均功率

已知一功率訊號x(t) ，定義$x_{T}(t)=x(t)rect({\frac {t}{T}})$如下圖：

$x_{T}(t)$為一能量訊號，

$_{T}(t)\leftrightarrow X_{T}(f)$

原功率訊號x(t)的平均功率

$P_{x}=\lim _{T\to \infty }{\frac {E_{xT}}{T}}$其中$E_{xT}$為$x_{T}(t)$的總能量

=$\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }{|x_{T}(t)|}^{2}\,dt=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }{|X_{T}(f)|}^{2}\,df=$$\int _{-\infty }^{\infty }$$\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}{|X_{T}(f)|}^{2}df$

x(t)的功率密度頻譜$S_{x}(f)$定義如下：

$S_{x}(f)\equiv \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}{|X_{T}(f)|}^{2}$

功率訊號X(t)在頻帶範圍$f_{1}<f_{2}<f_{3}$內的平均功率有

$R_{12}=\int _{-f_{2}}^{-f_{1}}S_{x}(f)\,df+\int _{f_{2}}^{f_{1}}S_{x}(f)\,df$

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週期訊號的功率密度頻譜

週期訊號x(t) ，基本週期$T_{0}$ ，

$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi f_{0}t}$其中$f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$

根據第四章所提週期訊號的Parseval定理知

$P_{x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|X_{n}|}^{2}$

故x(t)的功率密度頻譜

$S_{x}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|X_{n}|}^{2}\delta (f-nf_{0})$

注意：第四章所講週期訊號的功率頻譜為線頻譜；本處為功率密度頻譜，故用脈衝函數表示。

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功率訊號的相關函數

比照能量訊號，定義功率訊號的自相關函數(autocorrelation function)如下：

$r_{x}(\tau )\equiv \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt$

當$\tau =0$

$r_{x}(0)\equiv \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}x^{*}(t)x(t)\,dt=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}{|X_{n}|}^{2}\,dt=P_{x}...r_{x}(0)$代表訊號的平均功率

x(t)的功率密度頻譜

$S_{x}(f)\equiv$$\Im$ {$r_{x}(\tau )$}$\Rightarrow r_{x}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{j2\pi f\tau }\,df\Rightarrow r_{x}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)\,df=P_{x}$

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週期訊號的自相關函數

週期訊號為功率訊號，其自相關函數

$r_{x}(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {T}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{kT_{0}}}\int _{\frac {-kT_{0}}{2}}^{\frac {kT_{0}}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt$($\gets T_{0}$為基本週期) = ($\Rightarrow$x(t)為週期訊號，積分k個週期相當於積分1個週期再乘上k倍)$\lim _{k\to \infty }{\frac {k}{kT_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt$ = ($\Rightarrow$式子中已經沒有k ，故$\lim _{k\to \infty }$可略去。)${\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt$

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週期訊號的功率密度頻譜

週期訊號x(t)，基本週期$T_{0}$

$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{j2\pi nf_{0}}$其中$f_{0}={\frac {1}{T_{0}}}$

$r_{x}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}x^{*}(t)x(t+\tau )\,dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}[\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}e^{-j2\pi nf_{0}t}][\sum _{m=-\infty }^{\infty }X_{m}e^{j2\pi mf_{0}(t+\tau )}]\,dt$

$={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}X_{m}e^{j2\pi mf_{0}\tau }e^{j2\pi (m-n)f_{0}t}\,dt$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}X_{m}e^{j2\pi mf_{0}\tau }{\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}e^{j2\pi (m-n)f_{0}t}\,dt$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|X_{n}|}^{2}e^{j2\pi nf_{0}\tau }$

$={\begin{cases}1,&{\mbox{m=n}}\\o,&other\end{cases}}$

$S_{x}(f)$ = $\Im$ {$r_{x}(\tau )$} = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|X_{n}|}^{2}\delta (f-nf_{0})$

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參考資料

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G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

Rodger E. Ziemer and William H. Tranter, Principles of Communications, John Wiley & Sons, 2002.

Simon Haykin, Communication Systems, 4th ed., John Wiley & Sons, 2001.

John G. Proakis and M. Salehi, Communication Systems Engineering, 2nd ed., Prentice Hall International, 2002