逆散射变换

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逆散射变换是为解决一些非线性偏微分方程的方法。该方法类似于一种非线性版本的傅立叶变换。

逆散射变换可应用于许多所谓的完全可解模型。包括Korteweg–de Vries方程,非线性薛定谔方程,耦合非线性薛定谔方程,Sine-Gordon方程,Kadomtsev-Petviashvili方程,Toda晶格方程,Ishimori方程,Dym方程等。

逆散射问题可写成Riemann–Hilbert factorization问题。如此可以推广到微分算子阶数大于2,以及周期性位势。

方程式的解[编辑]

第一步. 写下非线性偏微分方程。这通常是来自物理学的研究。

第二步. 准备好随时间演化的散射系统,其中 Lax pair 包含两个线性算子,,使得 并且 , 这边下标 t 表示对时间的偏微分。这边很重要的参数--特征值是与时间无关的常数,也就是。这件事情的充分必要条件如下:对取时间微分

代换成

再改写最右边项

因此,对, 若且唯若

这就是 Lax 方程式。最简单的选取是Schrödinger算子:

比较 之后我们得出 。 在适当的选取 Lax pair后,Lax 方程式会是原来的非线性偏微分方程

第三步. 在无穷远处描述本征函数(eigenfunctions)的时间演化和相对应的每个特征值,耗散波函数的系数,反射系数,这三个组成所谓的散射数据。这系统的时间演化是可解的线性常微分方程。

第四步. 解 Gelfand–Levitan–Marchenko 积分方程,这个线性积分方程可以获得原来的非线性偏微分方程的解。为了做到这一点,需要在所有的散射数据。

范例: Korteweg–de Vries 方程[编辑]

Korteweg–de Vries 方程是一个非线性函数u的偏微分方程;包含两个实数的变量,空间变量x 和时间变量t

解这个方程式的初值问题 是一个 Schrödinger 方成的特征值问题

这里 是包和变数 tx 的未知函数,u 是 Korteweg–de Vries 方程式的解除了已知外,其他未知。 从薛定谔方程,我们得到

也就是说

带到 会变成只有 的微分方程式,解出 的散射数据。