逆散射变换

逆散射变换是为解决一些非线性偏微分方程的方法。该方法类似于一种非线性版本的傅立叶变换。

逆散射变换可应用于许多所谓的完全可解模型。包括Korteweg–de Vries方程，非线性薛定谔方程，耦合非线性薛定谔方程，Sine-Gordon方程，Kadomtsev-Petviashvili方程，Toda晶格方程，Ishimori方程，Dym方程等。

逆散射问题可写成Riemann–Hilbert factorization问题。如此可以推广到微分算子阶数大于2，以及周期性位势。

方程式的解

第一步. 写下非线性偏微分方程$u_{t}=f(u,u_{x},\dots )$。这通常是来自物理学的研究。

第二步. 准备好随时间演化的散射系统，其中 Lax pair 包含两个线性算子，$L$ 和 $M$，使得 $Lv=\lambda v$ 并且 $v_{t}=Mv$, 这边下标 t 表示对时间的偏微分。这边很重要的参数--特征值$\lambda$是与时间无关的常数，也就是$\lambda _{t}=0$。这件事情的充分必要条件如下：对$Lv=\lambda v$取时间微分

$L_{t}v+Lv_{t}=\lambda _{t}v+\lambda v_{t}.$

将 $v_{t}$ 代换成 $Mv$

$L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+\lambda Mv.$

再改写最右边项

$L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+MLv.$

因此，对$v\not =0$,$\lambda _{t}=0$ 当且仅当

$L_{t}+LM-ML=0.\,$

这就是 Lax 方程式。最简单的选取$L$是Schrödinger算子：

$L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u,$

比较 $L_{t}v+Lv_{t}$ 和 ${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+uv\right)$ 之后我们得出 ${\frac {\partial L}{\partial t}}=u_{t}$。 在适当的选取 Lax pair后，Lax 方程式会是原来的非线性偏微分方程$u_{t}=f(u,u_{x},\dots )$。

第三步. 在无穷远处描述本征函数(eigenfunctions)的时间演化和相对应的每个特征值$\lambda$，耗散波函数的系数，反射系数，这三个组成所谓的散射数据。这系统的时间演化是可解的线性常微分方程。

第四步. 解 Gelfand–Levitan–Marchenko 积分方程，这个线性积分方程可以获得原来的非线性偏微分方程的解。为了做到这一点，需要在所有的散射数据。

范例: Korteweg–de Vries 方程

Korteweg–de Vries 方程是一个非线性函数u的偏微分方程;包含两个实数的变量，空间变量x 和时间变量t：

${\frac {\partial u}{\partial t}}-6\,u\,{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0,\,$

解这个方程式的初值问题 $u(x,0)$是一个 Schrödinger 方成的特征值问题

${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}-u(x,t)v=\lambda v$

这里 $v$ 是包和变数 t 和 x 的未知函数，u 是 Korteweg–de Vries 方程式的解除了$u(x,t=0)$已知外，其他$u(x,t\neq 0)$未知。 从薛定谔方程，我们得到

$u={\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}-\lambda$

也就是说

$L=\partial _{x}^{2}-u$

$M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}$

把 $u={\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}-\lambda$ 带到 $Mv=v_{t}$ 会变成只有 $v$ 的微分方程式，解出 $v$ 的散射数据。

• http://web.archive.org/20090423234052/www.math.ucla.edu/~rrtakei/gradProj/poster_apma935.pdf