经过上面两个例子,我们可以看到,形如
的式子很重要。
事实上,对于一个给定的初等函数,对于定义域内(非端点)一个数 x 0 {\displaystyle x_{0}} ,上式总是会趋向一个定值。
如果我们令 x 1 − x 0 = Δ x {\displaystyle x_{1}-x_{0}=\Delta x} ,那么这个式子可以写作:
定义:一般地,函数 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 在 x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} 处的导数为 lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}} ,记作 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} 或 y ′ | x = x 0 {\displaystyle y'|_{x=x_{0}}} 。
导数描述的实际上是一个函数 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 处的瞬时变化率。从几何关系上讲(参见5.1.1切线),某一点导数的值即为此点切线的斜率(倾斜角的正切)。
函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在定义域内(除端点)某一点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的导数都是一个确定的数值 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} .
这样,当 x {\displaystyle x} 变化时, f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 便是 x {\displaystyle x} 的一个函数,我们称它为 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的导函数(derivative function),经常也直接简称 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的导数。即